Os lados de um trapézio...

Os lados de um trapézio retângulo são 5,3,5 e 9. Quando vale o segmento que une os meios dos lados iguais?

Resposta: 4,7

uninilton escreveu:Os lados de um trapézio retângulo são 5,3,5 e 9. Quando vale o segmento que une os meios dos lados iguais?

Resposta: 4,7

Boa dia!

Estou mudando a solução que havia deixado ontem à noite, pois me lembrei de que há um caminho bem mais fácil!

A diagonal do trapézio, que liga as extremidades dos lados iguais formando um triângulo isósceles, é também a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos 3 e 9; portanto, fica:

hipotenusa do triângulo retângulo = terceiro lado do triângulo isósceles
(hipotenusa)² = 3² + 9² = 9 + 81 = 90
hipotenusa = √90 = 3√10

E assim, terceiro lado do triângulo isósceles = 3√10

Façamos um esboço do triângulo isósceles, identificando seu ângulo superior com a letra A e os da base com as letras B e C. Marquemos M no ponto médio do lado AB e N no ponto médio do lado AC.

De acordo com o Teorema de Tales, vem:
AM/AB = AN/AC = MN/BC = 1/2

Portanto,
2MN = BC
MN = BC/2

Concluindo:
MN = 3√10/2 = 3*3,16/2 = 9,48/2
MN = 4,74





Tenha uma abençoada semana entrante!

Nossa, que dificil senhor Ivo

Eu usei seno e cosseno quando fiz l exercício. Fechei um triângulo 3,4,5 no canto do trapézio, que formaria o unico trapezio retângulo possível com essa configuração (eu acho). Depois apliquei um teorema dos cossenos.

Mas não tenho certeza sobre a resolução se é certa essa configuração dos lados do trapézio ou foi apenas coincidência.

llimonada escreveu:Nossa, que dificil senhor Ivo

Eu usei seno e cosseno quando fiz l exercício. Fechei um triângulo 3,4,5 no canto do trapézio, que formaria o unico trapezio retângulo possível com essa configuração (eu acho). Depois apliquei um teorema dos cossenos.

Mas não tenho certeza sobre a resolução se é certa essa configuração dos lados do trapézio ou foi apenas coincidência.

Bom dia, llimonada, ficou difícil porque me baseei totalmente no triângulo isósceles, acima da diagonal do trapézio.
Mas, quando saí do computador para ir repousar, me acordei de que na verdade era bem fácil, se eu atentasse para o triângulo retângulo que fica abaixo daquela diagonal...

Como já era tarde demais, deixei para hoje de manhã, mas quando cheguei aqui de novo, já muitos tinham visto aquela resolução, assim como você. Desculpe pelo susto, mas "Don't be affraid, it's not so hard!"

Assim, editei aquela solução e fiz nova, bem mais simples!




Que a próxima semana lhe seja abençoadora!

Bom domingo ivomilton/llimonada,
Fiquei com uma dúvida nesse exercício.
Pelo que eu entendi do enunciado o valor do segmento pedido seria a hipotenusa de um triângulo isósceles de catetos iguais a 2,5 , consequentemente este valor seria 2,5V2, o que não tem nada a ver com a resposta.

Por outro lado se você desenha em escala, e mesmo fazendo as contas esse lado diferente do trapézio não pode ser 9.
O que eu estou errando?

Raimundo, você não atendeu às condições do enunciado, percebe? A hipotenusa do triângulo DGB não mede nenhuma das possíveis medidas dadas no enunciado.

O meu trapézio ficou com medidas:
AC = 3
CB = 9
AD = 5
DB = 5

Veja que o triângulo DGB é o triângulo 3,4,5 com essa configuração. E sendo assim, a distância entre os dois pontos médios dos lados de valor 5 não é mais a hipotenusa de um triângulo, mas sim a base de um triângulo isósceles. Dara fazer por teorema dos cossenos se você chamar os ângulos do triângulo 3,4,5 de x e y e calcular seu seno e cosseno.

ivomilton escreveu:

llimonada escreveu:Nossa, que dificil senhor Ivo

Eu usei seno e cosseno quando fiz l exercício. Fechei um triângulo 3,4,5 no canto do trapézio, que formaria o unico trapezio retângulo possível com essa configuração (eu acho). Depois apliquei um teorema dos cossenos.

Mas não tenho certeza sobre a resolução se é certa essa configuração dos lados do trapézio ou foi apenas coincidência.

Bom dia, llimonada, ficou difícil porque me baseei totalmente no triângulo isósceles, acima da diagonal do trapézio.
Mas, quando saí do computador para ir repousar, me acordei de que na verdade era bem fácil, se eu atentasse para o triângulo retângulo que fica abaixo daquela diagonal...

Como já era tarde demais, deixei para hoje de manhã, mas quando cheguei aqui de novo, já muitos tinham visto aquela resolução, assim como você. Desculpe pelo susto, mas "Don't be affraid, it's not so hard!"

Assim, editei aquela solução e fiz nova, bem mais simples!




Que a próxima semana lhe seja abençoadora!

Ufa, ficou bem mais fácil :p

Obrigada, para o senhor também

raimundo pereira escreveu:

Bom domingo ivomilton/llimonada,
Fiquei com uma dúvida nesse exercício.
Pelo que eu entendi do enunciado o valor do segmento pedido seria a hipotenusa de um triângulo isósceles de catetos iguais a 2,5 , consequentemente este valor seria 2,5V2, o que não tem nada a ver com a resposta.

Por outro lado se você desenha em escala, e mesmo fazendo as contas esse lado diferente do trapézio não pode ser 9.
O que eu estou errando?

Boa tarde, caro Raimundo.

Vou descrever o trapézio que compreendi ser, segundo os dados da questão.
Aproveitando em parte o teu desenho, fica:
AD = 5
CB = 9 sendo CG=5 ; GB=4
AC = DG = 3
DB = 5

Traçando a diagonal AB — que liga as extremidades de AD com DB — fica:
Triângulo retângulo ACB:
AC=3
CB=9
AB = √(9²+3²) = √(81+9) = √90
AB = 3√10

Se ligarmos o ponto médio de AD (M) ao ponto médio de DB (N), essa paralela a AB terá por medida a AB/2, logo:
MN = 3√10/2 = 3*3,16/2 = 9,48/2
MN = 4,74





Um abraço.

Boa tarde a todos.
Já está resolvido desde ontem mas tomo a liberdade de acrescentar uma figura e meu modo de ver -- que é basicamente igual ao do Ivo.

O difícil nesta questão é montar o trapézio com os lados adequadamente posicionados.
Sabemos que é trapézio, portanto deve ter uma base maior e uma outra menor; logo, elas serão "9 e 5" ou "5 e 3". E que o trapézio é retângulo, portanto resta a altura valer 3 ou 5.
Estudando as possibilidades para fechar o quadrilátero com os lados dados, chegamos ao desenho abaixo.



Agora fica fácil. Se N é ponto médio, fica a meia altura e meia abscissa de BC, os catetos estão definidos e basta aplicar Pitágoras.

x² = (3/2)² + (9/2)² -----> x² = 90/4 -----> x = 3√10/2

Desculpem - não tinha visto este trapézio - somente depois que a llimonada me alertou , tive que sair e somente agora somente agora posso postar a figura, aproveitando postando uma sugestão para encurtar o caminho da resolução.

Att