IFRJ 2009

Sobre os lados de um triangulo retângulo isósceles ABC, são contruidos quadrados como na figura. Sabendo que a área do hexágono DEFGHI vale 54m² determine o perímetro do triãngulo ABC.



R: 2(2 + √2)

observando, vemos que existen na figura, 2 quadrados congruentes, 2 triângulos retângulos congruentes, e 2 escalenos congruentes.

A àrea de um triângulo escaleno pode ser calculada por lado(a).lado(b).sen(A)/2. Onde A, é o ângulo entre os lados.

note tbm, que a àrea de cada triangulo retângulo é metade da área dos quadrados menores.

chamemos o lado do quadrado maior de x, e dos menores de y .

por pítagoras temoos que :
x²=y²+y² , x²=2y² ou seja, a área d quadrado maior é o dobro da área dos quadrados menores.

a área dos quadrados menores é : y²
e dos triângulos retângulos y²/2

dos triângulos escalenos : x.y.sen(135º)/2

x.y.√2/4

x²=2y² x=y√2 portanto área dos triângulos escalenos é :

y√2 .y.√2/4=y²/2

fazendo a soma de todas as àres temos :

x²+y²+y² +y²/2 +y²/2 +y²/2 +y²/2=54

2y²+2y²+y²+y²=54
6y²=54 y=3

x=y√2----> x = 3√2

o triângulo ABC, tem lados y,y e x

portanto perimetro = 2y+x = 6+3√2 ------> 3(2+√2)

sinceramente acredito mais na minha resposta do que a gabaritada por vc :S , n consegui encontra-la de maneira alguma.

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