Funções

As funções f(x), g(x) e f(g(x)) são todas R em R e são tais que f(x). = x^3 -1 e f(g(x)) = 8^x - 1. então g(x) é

a) par
b)injetora
c) tal que g(-3) = 8 ( essa ja sei que não é)
d) ímpar
e) sobrejetora

Aproveitando, se puderem esclarecer os conceitos de injetora e subjetora eu agradeço

Reescreva a expressão f(g(x)) por favor.
É x elevado a oitava ( x^8 )?

não. É (8^x) - 1

Função injetora --> É aquela na qual cada elemento da imagem é imagem de um só elemento do domínio.

Função sobrejetora --> Não sobra elementos na imagem (imagem coincide com o contra-domínio)

Função bijetora --> Aquela que é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

Esclarecimentos feitos, vamos à questão.

As funções f(x), g(x) e f(g(x)) são todas R em R e são tais que f(x). = x^3 -1 e f(g(x)) = 8^x - 1. então g(x) é


g(x)³ - 1 = 8^x - 1 --> g(x)³ = 8^x --> g(x) = 8^{x/3}

Analisemos as proposições:

a) é par

Para uma função ser par, temos que ter f(k) = f(-k). Façamos um teste para f(-1) e f(1):

f(1) = 8^1/3

f(-1) = 8^{-1/3} = (1/8 )^{1/3}

Sendo f(1) ≠ f(-1), a função não é par.

b) é injetora

Como dito no outro post, para uma função ser injetora, cada elemento da imagem é imagem de apenas um elemento do domínio, de modo que se f(k) = f(w), k = w ( consequência da definição )

Fazendo a simplificação:

g(x) = 8^{x/3} = 2^x

É injetora, pois não há dois elementos do domínio com a mesma imagem. Esta é a opção correta.

c) Você já verificou

d) Para ser ímpar, temos que ter f(k) = -f(-k). Façamos o contra-exemplo para x = 1:

f(1) = 2 --> f(-1) = 1/2 --> Não satisfaz a condição de imparidade

e) Sobrejetora:

A função sobrejetora usa todos os elementos da imagem.

A função exponencial não admite valores negativos.

Logo a resposta seria letra B

Tem gabarito?

Tenho sim, esqueci de postar, mas é isso mesmo.
Obrigada. Estava mais com dúvida se era injetora ou sobrejetora mesmo.

Ficou tudo claro? Eu particularmente tive dificuldade em entender este conceito quando o estudei, por isso tentei fazer a explicação da melhor forma possível.

Sim, tudo certo .
Esse negócio de função par e função ímpar eu não havia visto e função injetora e sobrejetora vi muito rapidamente quando vimos função inversa. Porém não lembrava do conceito, já que na apostila do anglo não fala sobre isso.
Enfim, está ótima sua explicação. Obrigada