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por vzz Ter 17 Set 2013, 17:41

Encontre números reais b e c tais que:

x²+bx+c maior/igual 2x+3 Sendo: 4 maior/igual (x) menor/igual 7

Resposta:

b= -9
c= 31

por danjr5 Sex 20 Set 2013, 22:07

Olá Vzz,
boa noite!

Estudemos o intervalo:

De acordo com o enunciado,...

$S = \left \{ 4 \geq x \; \cup \; x \leq 7 \right \} \rightarrow S = \left \{ x \leq 4 \; \cup \; x \leq 7 \right \} \rightarrow \boxed{S = 4 \leq x \leq 7}$

Com isso,

$\\ x^2 + bx + c \geq 2x + 3 \\\\ x^2 + bx - 2x + c - 3 \geq 0 \\\\ x^2 + (b - 2)x + (c - 3) \geq 0 \\\\ - x^2 - (b - 2)x - (c - 3) \leq 0 \\\\ - x^2 + (2 - b)x + (3 - c) \leq 0$

Sabe-se que as duas raízes são 4 e 7, portanto:

$\\ (x - 4)(x - 7) \geq 0 \\\\ x^2 - 11x + 28 \geq 0 \\\\ - x^2 + 11x - 28 \leq 0$

Logo,

$\\ - x^2 + (2 - b)x + (3 - c) \leq 0 \Leftrightarrow - x^2 + 11x - 28 \leq 0 \\\\ \begin{cases} (2 - b) = 11 \Rightarrow 2 - b = 11 \Rightarrow \boxed{\boxed{b = - 9}} \\ (3 - c) = - 28 \Rightarrow 3 - c = - 28 \Rightarrow \boxed{\boxed{c = 31}} \end{cases}$

Espero ter ajudado!

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