(Unesp) A reta r é perpendicular à reta -3x+4y-5=0 ...

(Unesp) A reta r é perpendicular a reta -3x+4y-5=0 e passa pelo ponto (1;2). Determine os pontos de r que distam de 5 unidades do ponto (1;2).

Bom, vou explicar a minha dúvida...

A reta r é perpendicular a reta -3x+4y-5=0 ... então seu coeficiente angular é o inverso oposto do dessa reta, q ela mantem a relação de perpendicularidade. Ou seja... m da reta r é - 4/3 . Com os pontos (1;2) pertencentes a reta r e o coeficiente angular dela, acho a equação da reta r pelo y-yo=m(x-xo)

a equação da reta r fica, portanto igual a : 4x+3y-10= 0

agora é só fazer distância de dois pontos igual a 5 né.. ? ai ficaria Dpp=√(x-xo)+(y-yo) :. (5)²= (x-1)²+(y-2)² (um ponto que diste 5 unidades do ponto (1;2) )

para tirar uma incógnita eu isolaria, por exemplo o x, na equação da reta (ja que o ponto que dista 5 unidades, pertence a reta) e substituiria na equação da distância de dois pontos .. correto ?

isolando o x temos que :

4x+3y-10 =0
x= 10/4 - 3y/4

Substituindo agora na distância de dois pontos temos que :
(5)²= (x-1)²+(y-2)²
25=x²-2x+1+y²-4y+4
25=(10/4 - 3y/4)² - 2(10/4 - 3y/4) +1 + y² - 4y + 4


agora começa o problema

era só achar o valor de y depois substituir denovo na equação achar o x e ótimo, 10 parabéns, maaas... quando eu resolvo esse delta ta dando um valor altissimo, e não tem raiz exata... sendo q a resposta do problema é :

( -2,6) e (4,-2)

Eu to pensando alguma coisa errada, ou to errando conta matemática??
Não consigo sair disso.

Se r é perpendicular à reta -3x+4y-5=0:
y=3x/4+5/4
α=3/4
O coeficiente ang. de r é dado por:
αr.α=-1 => αr=-1/α =-4/3
Como r passa pelo ponto (1,2):
y-2=(-4/3)(x-1)
y=-4x/3+4/3+2
r : y= -4x/3 +10/3
Qualquer ponto da reta r pode ser representado por:
(x;y) =(x;-4x/3 +10/3)
d,Pr =5
=|aX+bY+c|/√[a²+b²]
=|-3x+4(-4x/3 +10/3)-5|/√[(-3)²+4²]
5=|-3x-16x/3+40/3-5|/√25
|(-9x-16x+40-15)/3| =25
Temos acima uma equação modular.
1º caso:
(-9x-16x+40-15)/3 =+25
-25x+25=75
-25x=50
x=-2
y=-4(-2)/3 +10/3=18/3=6
(-2,6)

2º caso:
(-9x-16x+40-15)/3 =-25
-25x+25=-75
-25x=-100
x=4
y=-4(4)/3 +10/3 =-16/3 +10/3 =-6/3 =-2
(4,-2)

Assim, os pontos de r que distam de 5 unidades do ponto (1,2) são
(-2,6) e (4,-2)

Até!

Acho que é isso, sou estudando do terceiro ano e não tenho certeza, mas chegou no resultado, espero ter ajudado, qualquer duvida poste que ajudarei na medida do possivel

Relatividade, você errou contas. A equação em y não só está correta como possui soluções y = 6 e y = -2.

Murilo... mas distância de ponto a reta ? oO
como tu disse, a reta r tem infinitos pontos, o certo seria distância de dois pontos. O ponto (1,2) e o ponto (x,y) q distasse 5 unidades, né não.. ?
não entendi o porq pode usar distância de ponto a reta.
Me explica oq tu pensou ?

Eu acho que seria melhor (menos conta) fazer usando a formula D. ponto reta


Ate porque no vestibular tempo é fundamental e alem do que fazendo menos conta terá menos chance de errar. (devido ao nervosismo, principalmente)

sim, mas não to entendendo porq q da certo usando a eq de distância de ponto a reta.. por que a reta tem infinitos pontos.. então na minha cabeça a solução q sai, não teria ligação com, necessariamenente, o ponto (1;2), entendeu minha dúvida ? Por que da certo usando a fórmula de distância de ponto a reta ?

Com o ponto (1;2) e inclinação da reta 3/4, você tem uma determinada reta no plano cartesiano e os únicos pontos que distam 5 unidades é o (-2;6) e o (4;-2).


Eu acho que é isso, não tenho um conhecimento muito profundo no assunto e passo a bola pra alguém que já esteja no Ensino Superior ou já tenha se formado, Espero ter ajudado

ta.. obrigada. Vou ver se alguem tem outro jeito de fazer, Obrigada mesmo ^^

""agora começa o problema

era só achar o valor de y depois substituir denovo na equação achar o x e ótimo, 10 parabéns, maaas... quando eu resolvo esse delta ta dando um valor altissimo, e não tem raiz exata... sendo q a resposta do problema é :

( -2,6) e (4,-2) ""



- equação da reta:

- 3x + 4y - 5 = 0

4y = 3x + 5 -> y = (3/4)x + (5/4) -> coeficiente angular = 3/4~

- reta perpendicular passando por ( 1, 2 ):

m = - 4/3

y - 2 = (- 4/3)*( x - 1 )

y = ( - 4/3 )x + (10/3 )

- ponto ( 1, 2 ) -> centro da circunferência de raio 5

( x - 1 )² + ( y - 2 ) = 25

x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 = 25

x² + y² - 2x - 4y - 20 = 0

substituindo o valor de y na equação

x² + [(10/3) - (4/3)x ] - 2x - 4*[(10/3) - (4/3)x ] - 20 = 0

x² + (100/9) - (80/9)x + (16/9)x² - 2x - (40/3) + (16/3)x - 20 = 0

9x² + 100 - 80x + 16x² - 18x - 120 + 48x - 180 = 0

25x² - 50x - 200 = 0

x² - 2x - 8 = 0 -> raízes: x = 4 ou x = - 2

para x = 4 -> y = - 2 -> ( 4, - 2 )

para x = - 2 -> y = 6 -> ( - 2, 6 )

muuuuito obrigada! agora entendi. eu estava errando contas mesmo
Obrigada Jose Carlos, meu professor me aconselhou a fazer considerando uma circunferência de raio 5 tbm, mas ja consegui fazer do outro jeito. Obrigada pelas respostas e espero ter ajudado futuras dúvidas nessa questão.