arc cos do angulo
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arc cos do angulo
por Carolziiinhaaah Sex 20 Jul 2012, 15:27
Seja uma pirâmide de base quadrada com arestas de mesma medida. O arc cos do ângulo entre as faces laterais que se interceptam numa aresta é
a)-2/3
b)-1/3
c)1/3
d)2/3
a)-2/3
b)-1/3
c)1/3
d)2/3
Carolziiinhaaah- Jedi
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Re: arc cos do angulo
por Robson Jr. Sex 20 Jul 2012, 16:23
Se a pirâmide possui todas as arestas iguais, então ela é regular.
Nesse caso, as faces triangulares são formadas por triângulos equiláteros.
Chamemos a medida das arestas de L.
Tracei duas alturas em faces adjacentes, cada uma medindo H = L√3/2 (altura do triângulo equilátero). Perceba que esses segmentos fecham um triângulo com a diagonal do quadrado base (diagonal = L√2).
Pela lei dos cossenos:
^2=(\frac{L\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{L\sqrt{3}}{2})^2-2.(\frac{L\sqrt{3}}{2}).(\frac{L\sqrt{3}}{2}).cos(\theta) \Rightarrow \\\\ 2L^2=\frac{3L^2}{2} - \frac{3L^2}{2}.cos{\theta} \Rightarrow \\\\ \frac{L^2}{2}=-\frac{3L^2}{2}.cos{\theta} \Rightarrow\\\\ cos\theta = -\frac{1}{3} "\small \\ (L\sqrt{2})^2=(\frac{L\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{L\sqrt{3}}{2})^2-2.(\frac{L\sqrt{3}}{2}).(\frac{L\sqrt{3}}{2}).cos(\theta) \Rightarrow \\\\ 2L^2=\frac{3L^2}{2} - \frac{3L^2}{2}.cos{\theta} \Rightarrow \\\\ \frac{L^2}{2}=-\frac{3L^2}{2}.cos{\theta} \Rightarrow\\\\ cos\theta = -\frac{1}{3}")
Nesse caso, as faces triangulares são formadas por triângulos equiláteros.
Chamemos a medida das arestas de L.
Tracei duas alturas em faces adjacentes, cada uma medindo H = L√3/2 (altura do triângulo equilátero). Perceba que esses segmentos fecham um triângulo com a diagonal do quadrado base (diagonal = L√2).
Pela lei dos cossenos:
Robson Jr.- Fera
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Re: arc cos do angulo
por Carolziiinhaaah Seg 23 Jul 2012, 19:51
Nao consigo enxergar de que maneira as alturas das faces adjacentes fecham um triangulo com a diagonal da base :/
Carolziiinhaaah- Jedi
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Re: arc cos do angulo
por Robson Jr. Seg 23 Jul 2012, 20:46
As alturas estão ligadas a dois vértices do quadrado.
Os dois vértices são opostos.
O segmento que liga dois vértices opostos de um quadrado é a diagonal desse quadrado.
Os dois vértices são opostos.
O segmento que liga dois vértices opostos de um quadrado é a diagonal desse quadrado.
Robson Jr.- Fera
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