O ângulo BÔY

Na figura abaixo, a circunferência é tangente aos lados do ângulo reto XÔY nos pontos M e N. Calcule o ângulo BÔY, sabendo que o arco MB vale o dobro do arco MA.


*O ponto que está no menor arco MN é A

a)10°
b)12°
c)15°
d)18°
e)21°

Não tem gabarito...

Olá Dinheirow , minha resposta não bate com o gab , mas vou postá-la, talvez você veja onde errei.

Seja o arco AM=a e o arco BM=2a
Ligando o ponto M ao ponto B, temos o ângulo m^bo=a/2
O ângulo môb=(arcoMB-arcoMA)/2= ( 2a - a)/2 = a/2
Concluimos que o triângulo OMB é isósceles, consequentemente OM=MB e, que o ponto B está alinhado com o ponto N na reta suporte NB//OY

Ligando o ponto M ao ponto N temos o triângulo BMN formando um ângulo inscrito de 90º.
voltando ao triângulo OMB , temos môb=m^bo= (180-135)/2=22º30 min

ET veja que o ângulo de segmento formado pelo arco MB(2a) com a semi-reta MB vale a

Att. Raimundo

Caramba, acho que consegui resolver xDDD
Seja a = arco(MA)/2 e b = arco(MB)/2 ∴ a=2b
com a reta OY tangente ao círculo em M, tem-se que ∠OMA=arco(MA)/2 = a, mas, pelo teorema do ângulo externo ao triângulo, ∠OMA + ∠MOB = ∠MAB, ou seja, ∠MOB = b - a = a. Logo, o triângulo MAO é isóceles; assim como o triângulo MOB, pois ∠MBA = arco(MA)/2 = a. Traçando-se um segmento de reta perpendicular a reta OX em um ponto Q, e que passa por B, e um outro segmento de reta paralelo a reta OB, que passa por Q e um ponto T pertencente à circunferência, obtem-se dois triângulos OQB e BNT semelhantes. Observe que ∠BQT = ∠QBO = a, ∠QBT é reto e que, portanto,
∠BQT e ∠BTQ são complementares de tal forma que ∠BTQ equivale a k=[arco(BM)+arco(MA) + arco(AN)]/2 = b+a+a=4a.
Do exposto, k + a = 90° => a = 90/5 = 18°

Olá dinheirow , muito bom . É isso aí, " quem procura acha". att

Raimundo

Valeu, raimundo