PG - soma do inverso dos termos

por Thvilaça Qua 18 Jul 2012, 11:34

Sabendo que a soma dos n primeiros termos da PG {a₁, a₂, ...}, de razão q, é S. Calcule a soma dos n primeiros termos da sequência $\left \{\frac{1}{a_1};\frac{1}{a_2};\frac{1}{a_3};... \right \}$

Resposta: $\frac{S}{a_1a_n}$

Vou mostrar minha tentativa, para que vocês vejam o impasse que eu cheguei, e talvez até ajude quem tentar resolver:

Como sabemos, o produtos dos n termos de uma PG finita é : $Pn = \sqrt{(a_1*a_n)^n}$

Seja ST a soma dos termos da sequência dada.

$\dpi{150} ST = \frac{\frac{Pn}{a_1}+\frac{Pn}{a2}+\frac{Pn}{a_3}+...+\frac{Pn}{a_n}}{\sqrt{(a_1*an)^n}}$

$\dpi{150} ST = \frac{Pn*(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+ ... +\frac{1}{a_n})}{\sqrt{(a_1*a_n)^n}}$

$\dpi{150} ST = \frac{Pn*\left (\frac{\frac{Pn}{a_1}+\frac{Pn}{a_2}+...+\frac{Pn}{a_n}}{\sqrt{(a_1*a_n)^n}} \right )}{\sqrt{(a_1*a_n)^n}}$

Enfim, não consigo chegar a lugar algum, o numerador parece só aumentar, eu sei que tem alguma lógica, mas não consigo saber qual é a lógica ! Ou ainda, a solução pode ser ainda mais simples ...

Alguma sugestão ?

por **Robson Jr.** Qua 18 Jul 2012, 13:21

Thvilaça, a ideia é perceber que a soma dos inversos constitui uma PG semelhante a primeira. Compare:

a) PG convencional :

$\small \\ a_1+a_2+a_3+...+a_n=S\\ a_1+a_1.q+a_1.q^2+...+a_1.q^{n-1}=S \\\\ (\text{PG com termo inicial }a_1\text{ e razão }q)$

b) Soma dos inversos:

$\small \\ S'=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_n}\\ S'=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1.q}+\frac{1}{a_1.q^2}+...+\frac{1}{a_1.q^{n-1}}\\\\ (\text{PG de termo inicial }\frac{1}{a_1}\text{ e razão }\frac{1}{q})$

Vamos calcular a soma dos inversos igual faríamos com qualquer outra PG.

$\small \\ S'=\frac{\frac{1}{a_1}(\frac{1}{q^n}-1)}{\frac{1}{q}-1} \Rightarrow S'=\frac{1-q^n}{a_1.q^{n-1}(1-q)} \\\\ \text{Multiplicando por }-1 \text{ em cima e embaixo:} \\\\ S' = \frac{q^n-1}{a_1.q^{n-1}(q-1)} \\\\ \text{Multiplicando por }a_1\text{ em cima e embaixo:}\\\\ S'=\frac{1}{a_1.(a_1.q^{n-1})}.\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$

A fração da direita constitui a soma da PG original, a qual sabemos valer S pelo enunciado.

$\small \\ S'=\frac{1}{a_1.(a_1.q^{n-1})}.S \\\\ S' = \frac{S}{a_1.a_n}$