ITA(numeros racionais)

Sejam r1,r2 e r3 números reais tais que r1−r2 e r1+r2+r3 são racionais. Das afirmações:
I  Se r1 é racional ou r2 é racional, então r3 é racional;
II  Se r3 é racional, então r1 +r2 é racional;
III  Se r3 é racional, então r1 e r2 são racionais,

é (são) sempre verdadeira(s)
A ( ) apenas I. B ( ) apenas II. C ( ) apenas III.
D ( ) apenas I e II. E ( ) I, II e III.

Spoiler:

I - Verdadeira

Se r1 - r2 ∈ ℚ, r1 ∈ ℚ ⇒ r2 ∈ ℚ e vice-versa. Logo r1 ∈ ℚ ∧ r2 ∈ ℚ

r1 ∈ ℚ ∧ r2 ∈ ℚ ⇒ r1 + r2 ∈ ℚ.

r1 + r2 ∈ ℚ ∧ (r1 + r2) + r3 ∈ ℚ ⇒ r3 ∈ ℚ. (LINHA 1)

II - Verdadeira

Pela LINHA 1, isso é verdade.

III - Verdadeira

r3 ∈ ℚ ∧ (r1 + r2) + r3 ∈ ℚ ⇒ (r1 + r2) ∈ ℚ ⇒ r1 + r2 = a/b, com mdc(a, b) = 1 (Eq 1)
r2 - r1 ∈ ℚ ⇒ r1 - r2 = c/d, com mdc(c, d) = 1 (Eq 2)

Eq 1 + Eq2:

2r1 = a/b + c/d ⇒ r1 ∈ ℚ ⇒ r2 ∈ ℚ

Letra E

Seu gabarito está errado, amigo!

vc poderi explicar só o começo!

Número racional é todo aquele que pode ser posto na forma a/b, sendo a e b naturais primos entre si (mdc(a,b) = 1).

Propriedades:

a. A soma de dois racionais é racional.
b. A diferença de dois racionais é racional.
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I. Verdadeira

Do enunciado, r1 - r2 é racional. Pela propriedade b, se qualquer um deles for racional, o outro também é. O enunciado diz que "r1 ou r2 é racional", então necessariamente ambos são racionais.

Se r1 e r2 são racionais e sabemos que (r1+r2)+r3 é racional, pela propriedade a r3 é racional.

II. Verdadeira

Pela propriedade a, se r3 é racional e (r1+r2)+r3 é racional então r1+r2 é racional.

III. Verdadeira

Pela propriedade b, se (r1+r2)+r3 é racional então r1+r2 é racional. Além disso, pelo enunciado r1-r2 também são racionais.

Da definição de número racional:

r1 + r2 = a/b
r1 - r2 = c/d

2r1 = a/b + c/d -> r1 é racional
Da propriedade a ou b (tanto faz) r2 também é racional.

agora entendi valeu robson

Não entendi.

Fiz assim:
r₁-r₂= Q ⇒ r₁ ∈ ℝ e r₂ ∈ ℝ  ou r₁ = r₂, podendo r₁,r₂ ∈ ℝ-Q

se r₁, r₂ ∈ Q -> r₃ ∈ Q
se r₁, r₂ ∈ ℝ-Q -> r₃ ∈ Q

Sendo assim a II e III estariam erradas

Estou errando algo?