numeros racionais

por JoaoLeal96 Ter 21 Jan 2014, 18:59

mostrar que existem a e b racionais tais que: raiz quadrada(18-8 raiz de 2)= a+b raiz de 2.
retirada do livro FME. Nao possui gabarito

por PedroCunha Ter 21 Jan 2014, 19:35

Veja:

√(18 - 8√2)

Lembrando que: 8√2 = √(128), temos:

√[18 - √(128)], que da teoria do radical duplo, pode ser transformado em:

√(18 +14)/√2 - √(18-14)/√2

√(32)/√2 - √4/√2

√(64)/2 - 2/√2

8/2 - 2√2/2
4 - √2
4 + (-√2)

Ou seja:

a = 4, b = -1

Att.,
Pedro

por JoaoLeal96 Ter 21 Jan 2014, 19:45

caramba nunca ouvi falar nessa teoria do radical duplo existe outra soluçao?

por PedroCunha Ter 21 Jan 2014, 19:59

Existe sim. Veja:

√[ 18 - 8√2 ] = a + b√2
18 - 8√2 = (a + b√2)²
18 - 8√2 = a² + 2√2ab + 2b²

Logo:

a² + 2b² = 18 (i)
2√2ab = -8√2 (ii)

i:

a² = 18 - 2b²
a = √(18 - 2b²)

ii:

2√2 * ab = -8√2
ab = -4
√(18-2b²) * b = -4

(18 - 2b²) * b² = 16
18b² - 2b^4 - 16 = 0
2b^4 - 18b² + 16 = 0 --> b² = y
2y² - 18y + 16 = 0
y² - 9y + 8 = 0
y = (9 +- 7)/2
y = 1 ou y = 8

Logo:

b = +- 1 ou b = +-2√2, como b deve ser racional, ficamos apenas com: b = +- 1

Encontrando a:

a² + 2b² = 18
a = +- 4

a deve ser positivo, pois a = √(18 - 2b²) e em se tratando dos reais, as raízes são sempre >= 0. Logo a = 4. Para a = 4, temos:

ab = -4
4b = 4
b = -1

Logo: a = 4, b = -1

É isso.

Att.,
Pedro