Números Racionais

por mathprime Qui 30 Mar 2023, 10:40

Dados dois números racionais x e y de modo que x < y.

a) Mostre que [latex]x < \frac{x+y}{2} < y [/latex] e que [latex]x < x+ \frac{y-x}{\sqrt{2}} < y [/latex].

b) Use o item (a) para mostrar que entre quaisquer números racionais distintos existe pelo menos um número racional e um número irracional.

por DaoSeek Qui 30 Mar 2023, 11:19

(a)
\(x < y \implies 2x < x+y < 2y \implies x < \dfrac{x+y}2 < y\)

Se \( \lambda > 0\) então \(x < y \implies \lambda x < \lambda y \implies \lambda (y-x) > 0\). Logo \(x < x + \lambda(y-x)\). Por outro lado, se \(0< \lambda < 1\) temos

\(\lambda (y-x) < y-x \implies x + \lambda(y-x) < y-x + x = y\)

Como \( 0 <\dfrac 1{\sqrt 2} < 1 \) segue que \( x < x + \dfrac{y-x}{\sqrt 2} < y\)

(b)
Sendo x, y racionais então \( \dfrac{y+x}2\) é um racional e \( x + \dfrac{y-x}{\sqrt 2}\) é um irracional entre esses números.

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