Números racionais.

por Shini10 Seg 15 Dez 2014, 20:25

Mostre que , se r1 e r2 são racionais e r1 < r2 , então existe um racional r tal que r1 < r < r2.

por **Euclides** Seg 15 Dez 2014, 20:47

\\r_1{<}r_2\;\;\to\;\;r_1+r_2{<}2r_2\;\;\to\;\;\frac{r_1+r_2}{2}{<}r_2\\\\\frac{r_1+r_2}{2}-r_1=\frac{r_2-r_1}{2}{>}0\;\;\;\therefore\;\;\;\frac{r_1+r_2}{2}{>}r_1\;\;\;\;\therefore\;\;\;r_1{<}\frac{r_1+r_2}{2}{<}r_2

por Shini10 Seg 15 Dez 2014, 21:32

Não entendi a razão da igualdade na segunda linha. Pode me explicar ?

por **Euclides** Seg 15 Dez 2014, 21:37

Ela mostra que o número [(r1+r2)/2]-r1 é positivo, isto é [(r1+r2)/2] > r1

por Shini10 Seg 15 Dez 2014, 22:19

Ah , saquei ! Muito obrigado Euclides.

por fahrenheitA Sex 07 Fev 2020, 14:47

Tem alguma outra forma de resolver, não entendi muito bem o raciocínio utilizado.

por **Elcioschin** Sex 07 Fev 2020, 19:15

Se r1 e r2 são racionais (r1 + r2)/2 também é racional.

r1 < r2 ---> somando r2 nos dois membros ---> r1 + r2 < r2 + r2 ---> r1 + r2 < 2.r2 ---> (r1 + r2)/2 < r2

Fazendo r = (r1 + r2)/2 ---> r < r2 ---> I

r1 < r2 ---> somando r1 nos dois membros ---> r1 + r1 < r1 + r2 ---> 2.r1 < r1 + r2 ---> r1 < (r1 + r2)/2

Fazendo r = (r1 + r2)/2 ---> r1 < r ---> II

I e II ---> r1 < r < r2 ---> Existe um racional r entre os racionais r1 e r2

por fahrenheitA Sex 07 Fev 2020, 19:30

Elcio quando você adicionou r2 e r1 aos dois membros, utilizou algum método de demonstração?

por **Elcioschin** Sex 07 Fev 2020, 20:00

Não demonstrei porque isto é teoria básica do Ensino Fundamental:

Adicionando ou subtraindo o mesmo valor constante k à uma equação ou inequação, elas não se alteram.