Questãozinha

Seja um conjunto {1,2,3,...,17},são multiplicados dois elementos cujo valor é igual a soma dos restantes.
Podemos afirmar a respeito desses dois números :
a)um deles é um quadrado perfeito
b)são pares
c)a soma é um número primo
d)são primos
e)um deles é um número primo

Desde já agradeço . Um forte abraço e fique com DEUS.

Glauber Damasceno escreveu:Seja um conjunto {1,2,3,...,17},são multiplicados dois elementos cujo valor é igual a soma dos restantes.
Podemos afirmar a respeito desses dois números :
a)um deles é um quadrado perfeito
b)são pares
c)a soma é um número primo
d)são primos
e)um deles é um número primo

Desde já agradeço . Um forte abraço e fique com DEUS.

Os elementos do conjunto citado formam uma P.A. cujos elementos são:
a1 = 1
an = 17
n = 17

S = (a1 + an)*n/2 = (1 + 17)*17/2 = 18*17/2 = 18/2 * 17 = 9*17 = 153

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Testando:
Escolhemos 10 e 11 → 10*11=110 → restantes = 153 - (10+11) = 153 - 21 = 132 → 110 < 132 → é pouco
Escolhemos 11 e 12 → 11*12=132 → restantes = 153 - (11+12) = 153 - 23 = 130 → 132 > 130 → é muito
Escolhemos 12 e 13 → 12*13=156 → inadequado, pois ultrapassa 153
Escolhemos 10 e 12 → 10*12=120 → restantes = 153 - (10+12) = 153 - 22 = 131 → 120 < 131 → é pouco
Escolhemos 10 e 13 → 10*13=130 → restantes = 153 - (10+13) = 153 - 23 = 130 → 130 = 130 → encontrados!

10 + 13 = 23 → A soma é um número primo → alternativa (c)





Um abraço.

Obrigado amigo. Forte abraço e fique com DEUS.

poderia ser também a letra E ja que um deles é um numero primo ( o 13) nao é Ivomilton??

Bruna Barreto escreveu: poderia ser também a letra E ja que um deles é um numero primo ( o 13) nao é Ivomilton??

Tem razão, Bruna.
Nesse caso, há duas alternativas verdadeiras: C e E.
E não há outro par de números que satisfaça as condições; somente 10 e 13!






Muito obrigado pela informação.
Um abraço.

Glauber Damasceno escreveu:Seja um conjunto {1,2,3,...,17},são multiplicados dois elementos cujo valor é igual a soma dos restantes.
Podemos afirmar a respeito desses dois números :
a)um deles é um quadrado perfeito
b)são pares
c)a soma é um número primo
d)são primos
e)um deles é um número primo

Desde já agradeço . Um forte abraço e fique com DEUS.

Bom dia, Glauber.

Esta questão também pode ser resolvida algebricamente assim:

N', N" = os elementos do conjunto que solucionam a questão

x = distância entre o último elemento do conjunto (17) e um dos elementos;
y = distância entre o último elemento do conjunto (17) e o outro elemento.

N' = 17-x
N" = 17-y

Produto dos dois elementos do conjunto:
(17-x)(17-y) = 289 - 17(x+y) + xy ............ (I)

Soma dos dois elementos do conjunto:
(17-x) + (17-y) = 34 - (x+y)

Soma de todos os 17 elementos menos a soma dos dois elementos tomados do conjunto:
S = (1+17)*17/2 - 34 - (x+y)
S = 18*17/2 - 34 - (x+y)
S = 153 - 34 - (x+y)
S = 119 - (x+y) ...................................... (II)

Igualando-se (I) com (II):
290 - 17(x+y) + xy = 119 - (x+y)
290 - 119 = (x+y) + 17(x+y) - xy
170 = 18(x+y) - xy

Fazendo (x+y) = S (soma) e xy = P (produto), fica:

18S - P = 170 → uma equação diofantina (2 incógnitas e 1 só equação, com S e P inteiros).

Resolvendo a equação diofantina:
18S - P = 170

..... 170 + P
S = --------- ........... (I) → separaremos os quocientes inteiros dos fracionários:
......... 18

............. 8 + P
S = 9 + --------- → como P e S são inteiros, o quociente da fração também deverá sê-lo; faremos ele igual a m:
............... 18

8 + P
------ = m
. 18

8 + P = 18m
P = 18m - 8

Substituiremos, na fórmula (I) de S, P por seu valor acima determinado:

..... 170 + 18m - 8 .... 162 + 18m
S = ----------------- = --------------- , logo:
.............. 18 ................... 18

S = 9 + m

As incógnitas S e P, além de inteiras deverão ser positivas; portanto,
S → 9 + m > 0 → m > -9
P → 18m - 8 > 0 → 18m > 8 → m > 8/18 → m > 0,4... > m ≥ 1

A intersecção dos valores de "m" nos dá: m ≥ 1
Façamos, então, uma tabela:

m ... S ... P
1 ... 10 . 10
2 ... 11 . 28
3 ... 12 . -6 → inadequado, pois P deve ser positivo

Sendo S a soma dos dois elementos e P o respectivo produto, testemos os valores das duas primeiras linhas, usando a fórmula x² - Sx + P = 0:

x² - 10x + 10 = 0 → ∆ = 10²-4*10 = 100-40=60; ora √∆ deverá resultar em número inteiro, o que não ocorre.
x² - 11x + 28 = o → ∆ = 11²-4*28 = 121-112=9; valor aceitável pois √∆ = √9 = ±3
x = (11 ± 3)/2
x' = (11 + 3)/2 = 14/2 = 7
x" = (11 - 3)/2 = 8/2 = 4

Concluindo:
N' = 17 - 7 = 10
N" = 17 - 4 = 13

Alternativas válidas: (c) e (e), pois 10+13=23 (número primo) e um deles (13) também é primo.

Este modo de resolver confesso que é bem complexo, mas mostra todas as possíveis soluções, caso haja mais de uma.





Um abraço.