fatoraçao dificil

por wagrodsantos Ter 31 Jan 2012, 13:16

$x= \sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}} +\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$ entao x é igual a:

por christian Ter 31 Jan 2012, 16:51

como tudo na matematica vai e volta
imagine que
$x =\sqrt{a+\sqrt{b}}$
e que
$c =\sqrt{a^2 -b}$
entao x fatorado fica
$x = \sqrt{\frac{a+c}{2}} +\sqrt{\frac{a-c}{2}}$
agora , olhe para essa ultima expressao e olhe para nossa expressao que temos que fatorar ... sao muito parecidas nao ?
como a soma a+c esta dividida por 2 , entao vamos dizer que a =16 e c = 4[V10 +2v5]
como sabemos o c , igualamos....

$4\sqrt{10+2\sqrt{5}} =\sqrt{a^2 -b}\\ 16(10+2\sqrt{5}) =16^2 -b\\ 160 +32\sqrt{5} -256 = -b\\ b = 96-32\sqrt{5}\\ b =32(3-\sqrt{5})$
entao nosso x fica

$x=\sqrt{16+\sqrt{32(3-\sqrt{5})}}\\ x =\sqrt{16 +\sqrt{96-\sqrt{5120}}}$

aplicando o mesmo conceito no radical de dentro

c = 64

$x =\sqrt{16 +\left ( \sqrt{\frac{96+64}{2}} \right )-\left ( \sqrt{\frac{96-64}{2}} \right )}$
$x=\sqrt{16+\sqrt{80}-4}\\ x =\sqrt{12+\sqrt{80}}$

como de custume , aplicando + 1 vez =D

c = 8

$x =\sqrt{\frac{12+8}{2}}+\sqrt{\frac{12-8}{2}}\\ x = \sqrt{10}+\sqrt{2}$

$x =\sqrt{2}\left \{ \sqrt{5} +1 \right \}$

espero que seja isso ... , se eu nao errei em nenhuma conta eh isso ai , se eu errei peço desculpas Very Happy

por wagrodsantos Ter 31 Jan 2012, 17:49

tá certo o gabarito.... naum entendi pq a =16 e c = 4[V10 +2v5]

por christian Ter 31 Jan 2012, 18:04

ue , nao ta V8+2V10+2v5 ?

a expreçao normal eh V[(a+c)/2]

entao podemor afirma que a = 16 , pq quando dividido por 2 vai dar 8 e c = 4V10+2v5 , pq quando dividido por 2 da 2V10+2v5