FUNÇÕES - DIFÍCIL

O valor máximo de f(x) onde f é uma função definida no conjunto A = { 1,2,3,...,10} que associa a cada x e A ( x pertence a A ) o número de subconjuntos A aos quais x pertence e eu possuem x elementos é igual a 126


Esse afirmação é verdadeira , mas queria saber como se faz

Acompanhe comigo:

f(1) = 1, pois só há o sunconjunto {1} com 1 elemento.
f(2) = 9, pois existem 9 subconjuntos de 2 elementos cada: {1;2}, {1;3}, {1;4}, {1;5}, {1;6}, {1;7}, {1;8}, {1;9}, {1;10}
E para f(3), f(4), ... ,f(10)?

Para f(7), por exemplo, cada subconjunto deverá conter 7 elementos cada. A ordem disposta dos elementos também não importa, ou seja, {1;4;7} = {1;7;4}. Então não posso considerar o mesmo conjunto duas vezes. Isso soa familiar para você?

A solução pode ser encontrada através de uma ferramenta chamada Combinação, oriunda da Análise Combinatória. Vamos lá:

Para f(2), quero subconjuntos da forma: {1; _}, onde a lacuna pode ser qualquer número do conjunto {2; 3; 4; ... ; 10}

O número total de subconjuntos é dado por: C9,1 = 9!/(1!*8!) = 9 subconjuntos de 2 elementos distintos cada. Então f(2) = 9.

Para f(3), devemos fazer:

{1; _; _}

f(3) = C9,2 = 36

Analogamente:

f(4) = C9,3 = 84
f(5) = C9,4 = 126
f(6) = C9,5 = C9,4 = 126
f(7) = C9,6 = C9,3 = 84
f( = C9,7 = C9,2 = 36
f(9) = C9,8 = C9,1 = 9
f(10) = C9,9 = 1, que é o conjunto {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}, idêntico ao conjunto A.

Daí deduz-se que o valor máximo de f(x), para essa função, é 126.

Se não errei nos cálculos, é isso.