Aplicação de L'Hôpital

Olá, amigos. Boa noite.
Fiquei intrigado com este problema. É simples, mas queria tentar por um jeito diferente da fatoração do produto notável. Seria possível resolver essa expressão pela Regra de L'Hôpital? Queria também uma explicação das condições necessárias para que ela seja válida (além de limites que acabam na indeterminação 0/0) para que essa regra seja válida na resolução de outras questões. Além disso, fiquei curioso a respeito do porquê ela funciona. 

A solução mais padrão pra isso é a que segue:

[latex]\lim_{x\to2} \dfrac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to2} \dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2} = \lim_{x\to2} x+2 = 2 + 2 = 4[/latex]

A regra de L'Hôpital (nunca, em hipótese alguma, diga Hospital) é o seguinte: Se eu tenho o limite de um quociente f(x)/g(x) para um valor a e isso acabar numa indeterminação, isto é, f(a)/g(a) é indeterminado, então vale:

[latex]\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}[/latex]

Claro, g'(x) não é 0.

Resolvendo novamente a questão, tenho f(x) = x² - 4 e g(x) = x - 2. Note que f(2)/g(2) = (2²-4)/(2-2) = 0/0, indeterminado. Aplicando a regra, f'(x) = 2x e g'(x) = 1, logo quero apenas o limite de 2x/1 = 2x em x = 2, ou seja, 4.

Vou ser sincero que não tenho como descrever uma demonstração brilhante e geral dessa regra, mas eu posso dar a ideia de como se faz um caso bastante específico (que no fim é base pro resto). Suponha f(x) e g(x) diferenciáveis em a tais que f(a) = g(a) = 0, daí: f(x)/g(x) = [f(x) - 0]/[g(x) - 0] = [f(x) - f(a)]/[g(x) - g(a)]. Divida ambos por x - a e transmita o limite. Fico em cima (análogo abaixo) com [latex]\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}[/latex], que é essencialmente a definição de derivada em a, isto é, f'(a), ou seja, a expressão é f'(a)/g'(a), que acaba no limite como descrevi acima.

Lipo_f escreveu:A solução mais padrão pra isso é a que segue:

[latex]\lim_{x\to2} \dfrac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to2} \dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2} = \lim_{x\to2} x+2 = 2 + 2 = 4[/latex]

A regra de L'Hôpital (nunca, em hipótese alguma, diga Hospital) é o seguinte: Se eu tenho o limite de um quociente f(x)/g(x) para um valor a e isso acabar numa indeterminação, isto é, f(a)/g(a) é indeterminado, então vale:

[latex]\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}[/latex]

Claro, g'(x) não é 0.

Resolvendo novamente a questão, tenho f(x) = x² - 4 e g(x) = x - 2. Note que f(2)/g(2) = (2²-4)/(2-2) = 0/0, indeterminado. Aplicando a regra, f'(x) = 2x e g'(x) = 1, logo quero apenas o limite de 2x/1 = 2x em x = 2, ou seja, 4.

Vou ser sincero que não tenho como descrever uma demonstração brilhante e geral dessa regra, mas eu posso dar a ideia de como se faz um caso bastante específico (que no fim é base pro resto). Suponha f(x) e g(x) diferenciáveis em a tais que f(a) = g(a) = 0, daí: f(x)/g(x) = [f(x) - 0]/[g(x) - 0] = [f(x) - f(a)]/[g(x) - g(a)]. Divida ambos por x - a e transmita o limite. Fico em cima (análogo abaixo) com [latex]\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}[/latex], que é essencialmente a definição de derivada em a, isto é, f'(a), ou seja, a expressão é f'(a)/g'(a), que acaba no limite como descrevi acima.

Olá, Lipo!
Minha dúvida regia mais sobre as condições para que L'Hôpital funcione em um determinado quociente de funções, que você já bem me explicou. Antes de você envear este comentário, já havia notado qual foi meu erro e consegui efetuar este e outros limites para 0/0. Meu erro foi: Como eles estão no formato f'(x)/g'(x), acreditei veemente que eu precisaria aplicar a Regra do Quociente, mas não deu certo ao final. A não ser que eu tenha errado algo, é claro. Ainda estou aprendendo..

Sobre descrever a demonstração, eu não queria algo formal, rs. Só queria saber a origem dela, que, no caso, vem dos Limites, como você me explicou acima.

Outra coisa: se a derivada de uma função genérica f'(x) = 0, L'Hôpital não é válido, correto? Isso para o denominador apenas ou para o numerador também? Ou se ambos fossem 0? Desde já agradeço a ajuda.