[Fatoração] Se 10^k é a maior potência de 10 que...

Se 10^k é a maior potência de 10 que divide 11^10 - 1, então k é igual a:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4 
e) 5

Para determinar o valor de \( k \) tal que \( 10^k \) é a maior potência de 10 que divide \( 11^{10} - 1 \), vamos usar aritmética modular.

Primeiro, sabemos que \( 10^k \) é divisível tanto por \( 2^k \) quanto por \( 5^k \). Portanto, precisamos encontrar o maior \( k \) para o qual \( 2^k \) e \( 5^k \) dividem \( 11^{10} - 1 \).

Potências de 2

Vamos analisar \( 11^{10} - 1 \mod 2^k \) para diferentes valores de \( k \):

1. Para \( k = 1 \):
\[ 11 \equiv 1 \pmod{2} \]
\[ 11^{10} \equiv 1^{10} \equiv 1 \pmod{2} \]
\[ 11^{10} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{2} \]
Então \( 2^1 \) divide \( 11^{10} - 1 \).

2. Para \( k = 2 \):
\[ 11 \equiv 3 \pmod{4} \]
\[ 11^{10} \equiv 3^{10} \equiv 1 \pmod{4} \quad (\text{pois } 3^2 \equiv 1 \pmod{4}) \]
\[ 11^{10} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{4} \]
Então \( 2^2 \) divide \( 11^{10} - 1 \).

3. Para \( k = 3 \):
\[ 11 \equiv 3 \pmod{8} \]
\[ 11^{10} \equiv 3^{10} \pmod{8} \]
Calculamos \( 3^{10} \mod 8 \):
\[ 3^2 \equiv 1 \pmod{8} \Rightarrow 3^{10} = (3^2)^5 \equiv 1^5 \equiv 1 \pmod{8} \]
\[ 11^{10} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{8} \]
Então \( 2^3 \) divide \( 11^{10} - 1 \).

4. Para \( k = 4 \):
\[ 11 \equiv 11 \pmod{16} \]
\[ 11^2 \equiv 121 \equiv 9 \pmod{16} \]
\[ 11^4 \equiv 9^2 \equiv 81 \equiv 1 \pmod{16} \]
\[ 11^{10} = 11^{4 \cdot 2 + 2} = (11^4)^2 \cdot 11^2 \equiv 1^2 \cdot 9 \equiv 9 \pmod{16} \]
\[ 11^{10} - 1 \equiv 9 - 1 \equiv 8 \equiv 0 \pmod{16} \]
Então \( 2^4 \) divide \( 11^{10} - 1 \).

5. Para \( k = 5 \):
\[ 11 \equiv 27 \pmod{32} \]
\[ 11^2 \equiv 27^2 = 729 \equiv 9 \pmod{32} \]
\[ 11^4 \equiv 9^2 \equiv 81 \equiv 17 \pmod{32} \]
\[ 11^8 \equiv 17^2 \equiv 289 \equiv 1 \pmod{32} \]
\[ 11^{10} = 11^8 \cdot 11^2 \equiv 1 \cdot 9 \equiv 9 \pmod{32} \]
\[ 11^{10} - 1 \equiv 9 - 1 \equiv 8 \pmod{32} \]
Então \( 2^5 \) não divide \( 11^{10} - 1 \).

Até aqui, verificamos que \( 2^4 \) é a maior potência de 2 que divide \( 11^{10} - 1 \).

Potências de 5

Vamos analisar \( 11^{10} - 1 \mod 5^k \) para diferentes valores de \( k \):

1. Para \( k = 1 \):
\[ 11 \equiv 1 \pmod{5} \]
\[ 11^{10} \equiv 1^{10} \equiv 1 \pmod{5} \]
\[ 11^{10} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{5} \]
Então \( 5^1 \) divide \( 11^{10} - 1 \).

2. Para \( k = 2 \):
\[ 11 \equiv 11 \pmod{25} \]
\[ 11^2 \equiv 121 \equiv 21 \pmod{25} \]
\[ 11^4 \equiv 21^2 \equiv 441 \equiv 16 \pmod{25} \]
\[ 11^8 \equiv 16^2 \equiv 256 \equiv 6 \pmod{25} \]
\[ 11^{10} \equiv 6 \cdot 21 \equiv 126 \equiv 1 \pmod{25} \]
\[ 11^{10} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{25} \]
Então \( 5^2 \) divide \( 11^{10} - 1 \).

Verificamos que \( 5^2 \) é a maior potência de 5 que divide \( 11^{10} - 1 \).

Conclusão

A quantidade total de fatores de 10 em \( 11^{10} - 1 \) será o menor valor entre \( v_2(11^{10} - 1) \) e \( v_5(11^{10} - 1) \), que são 4 e 2, respectivamente. Portanto, \( k = 2 \).

Então, a maior potência de 10 que divide \( 11^{10} - 1 \) é \( 10^2 \).

A resposta correta é:
\[ \boxed{2} \]

Só uma observação:

11¹⁰  -1 ≡ 8 mod 16, portanto  11¹⁰-1 não é divisível por 16, mas isso não afeta a solução

Rigorosamente, é necessário verificar que 125 não divide 11¹⁰ -1:

11² = 121 ≡ -4  mod 125
11¹⁰- 1 ≡-4⁵ - 1 = -2¹⁰ - 1 = -1025 ≡-25 ≡ 100 mod 125

portanto, 125 não divide 11¹⁰ -1

Em geral congruências é a técnica mais abrangente nesse tipo de questão. Mas pra essa em específico podemos fazer assim também:

Podemos escrever 11 = 10+1 e expandir:

\( 11^{10} - 1  = (10+1)^{10} - 1 = \displaystyle \binom{10}{10}10^{10} + \binom {10}9 10^9 + \cdots + \binom {10}2 10^2 + \binom {10}1 10 \)

Como \(\displaystyle \binom {10}2 = 45 \) e \(\displaystyle \binom{10}1 = 10\) segue que a maior potencia que divide \(11^{10}-1\) é \(10^2\)



Outra forma:

Fatorando temos:

\( 11^{10}- 1 = (11^5-1)(11^5+1) = (11-1)(1+ 11+11^2 + 11^3 + 11^4)(11+1)(1- 11+11^2 - 11^3 + 11^4)\)

Notamos que 11-1 = 10 e que 11+1 = 12. E os demais termos da fatoração acima são impares. Logo, 2³ é a maior potencia de 2 que divide 11¹⁰-1. Por outro lado, notamos que 1-11+11²-11³+11⁴ tem ultimo algarismo igual a 1, logo não é divisível por 5. Mas 1+11+11²+11³+11⁴ termina em 5. Portanto, 25 divide 11¹⁰-1. Pra concluir que 125 não é um fator, precisamos verificar que 25 não divide 1+11+11²+11³+11⁴. Para isso, notamos que 111² termina em 21, 11³ termina em 31 e 11⁴ termina em 41. Logo 1-11+11²-11³+11⁴ tem os mesmos 2 ultimos algarismos que 1+11+21+31+41, que são 05. Portanto, 1-11+11²-11³+11⁴ não é divisível por 125. Logo, 100 é a maior potencia de 10 que divide 11¹⁰-1.