Apostila FB logaritmo com PG

por SallesB Dom 26 maio 2024, 17:49

Seja X um real positivo tal que os números [latex]\log_8(2x),\log_4(x),\log_2(x),[/latex] formam nessa ordem uma progressão geométrica não constante. O número X pode ser escrito como [latex]\frac{m}{n}[/latex] com M e N inteiros positivos primos entre si. Determine M+N

A)3

B)5

C)9

D)17
E)31

por **Giovana Martins** Dom 26 maio 2024, 18:07

O que seria uma P.G. não constante?

Bom, vou partir do princípio de que uma P.G. não constante apresenta as mesmas propriedades de uma P.G. comum. Deste modo:

\[\mathrm{[log_4(x)]^2=[log_8(2x)][log_2(x)]}\]

\[\mathrm{\left [ \frac{1}{2}log_2(x) \right ]^2=\left [ \frac{log_2(2x)}{3log_2(2)} \right ]\left [ log_2(x) \right ]=\left [ \frac{log_2(2)+log_2(x)}{3} \right ][log_2(x)]}\]

\[\mathrm{Fazendo\ log_2(x)=k\ \therefore\ \frac{k^2}{4}=\left ( \frac{1+k}{3} \right )k\ \therefore\ k=\left \{ -4,0 \right \}}\]

\[\mathrm{log_2(x)=k=\left \{ -4,0 \right \}\ \therefore\ x=\left \{ \frac{1}{16},1 \right \}}\]

\[\mathrm{P.G.=\left ( log_8(2x),log_4(x),log_2(x) \right )=(0,0,0)\ \therefore\ x=1\ (N\tilde{a}o\ ok!)}\]

\[\mathrm{P.G.=\left ( log_8(2x),log_4(x),log_2(x) \right )=(-1,-2,-4)\ \therefore\ x=\frac{1}{16}\ (ok!)}\]

\[\mathrm{Assim:\frac{M}{N}=\frac{1}{16}\ \therefore\ (M,N)=(1,16)\ \therefore\ M+N=17}\]

Acredito que seja isto!

por **Giovana Martins** Dom 26 maio 2024, 18:16

Procurei aqui nos meus resumos.

De forma bem informal:

P.G. constante: progressão cujos termos são iguais (razão unitária).

P.G. não constante: oposto da definição anterior.

por SallesB Dom 26 maio 2024, 18:34

Pg não contante e quando a razão da pg é diferente de 1. Obg giovana entendi perfeitamente

por **Giovana Martins** Dom 26 maio 2024, 18:53

SallesB escreveu:
Pg não contante e quando a razão da pg é diferente de 1. Obg giovana entendi perfeitamente

Isso aí. Não lembrava mais dessa definição.

Obrigada.

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