lumbreras equação exponencial cap 2 questão 25

Depois de resolver a equação 

[latex]x^{x^{\sqrt[4]{x}+0.25}}=(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}^{1-2\sqrt{2}}} [/latex]


indique o valor de [latex]\sqrt[4x+3]{x^{8}}[/latex]


A) [latex]16^{-1}[/latex]
A) [latex]8[/latex]

A) [latex]8^{-1}[/latex]

A) [latex]4^{-1}[/latex]

A) [latex]2^{-1}[/latex]

Vou resolver a questão da forma que acredito que o elaborador pensou. No entanto, a equação fornecida possui mais de uma solução, mas apenas uma pode ser obtida sem o uso de métodos numéricos. Inicialmente, vamos manipular o lado direito da equação:

\[\displaystyle(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}^{1-2\sqrt{2}}}=\displaystyle(\frac{1}{2})^{2^{\frac{1-2\sqrt{2}}{2}}}=\displaystyle(\frac{1}{2})^{2^{\frac{1}{2}-\sqrt{2}}}=\displaystyle(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}^{-(\frac{1}{2}-\sqrt{2})}}=\displaystyle(\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}^{-(\frac{1}{2}-\sqrt{2})}}=\displaystyle(\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}^{(\frac{1}{2}+\sqrt{2})}}=\displaystyle(\frac{1}{4})^{\frac{1}{4}^{\frac{(\frac{1}{2}+\sqrt{2})}{2}}}=\displaystyle(\frac{1}{4})^{\frac{1}{4}^{(\frac{1}{4}+\frac{1}{\sqrt[4]{4}})}}\]

Daí, a equação fornecedida pode ser reescrita da seguinte forma:

\[\displaystyle{x^{x^{\sqrt[4]{x}+\frac{1}{4}}}=(\frac{1}{4})^{\frac{1}{4}^{(\frac{1}{\sqrt[4]{4}}+\frac{1}{4})}}}\]

Agora, comparando termo a termo vem que x=1/4. Logo, o valor da expressão pedida é:

\[E=x^{\frac{8}{4x+3}}=(\frac{1}{4})^{\frac{8}{1+3}}=(\frac{1}{4})^{2}=16^{-1}.\]