Problemas Selectos (Lumbreras)

por renan2014 Sáb 27 maio 2017, 14:29

357. Determine a de modo que o sistema
$\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle x^{2}+2y^{2}\leq a \\ \displaystyle x+y=2 \end{array} \right.$
tenha solução única em $\mathbb{R}$ .

a)8/3
b)5/3
c)1/3
d)4/3
e)1/2

GAB: A

por **Elcioschin** Sáb 27 maio 2017, 14:37

y = 2 - x

x² + 2.(2 - x)² ≤ a --> 3.x² - 8.x + (8 - a) ≤ 0

A função é uma parábola com a concavidade voltada para cima.
Para ter solução única em $Problemas Selectos (Lumbreras) Gif$ devemos ter ∆ = 0 (raiz dupla):

(-8)² - 4.3.(8 - a) = 0 ---> - 32 + 12.a = 0 ---> a = 8/3

por renan2014 Sáb 27 maio 2017, 14:52

Consegui fazer mestre,

x²+2y² =< a

->

2y²+(2-y)² =< a -> 3y² -4y +4 =< a

Aí eu completei quadrado,

y² -(4/3)y + (4/3) =< a/3

(y - 2/3)² =< a/3 - 8/9

Mas (y - 2/3)² >= 0

Então, a/3 - 8/9 >= 0

a/3 >= 8/9

-> a >= 8/3

Unica alternativa letra A)

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