Retângulo

No gráfico, CK=2, CS=3 e AM= MK. Calcule ML se ABCD é um retângulo.

https://i.servimg.com/u/f79/20/40/82/14/matemz13.jpg

A.0,3
B.0,4
C.0,5
D.0,6
E.0,8

R:C

Um possível caminho usando GA:

Sejam a, b os lados do reângulo: AD = BC = a ---> AB = CD = b e P o ponto de interseção entre DK e CS

BK = BC - CK ---> BK = a - 2

Triângulo CPK é isósceles (C^KP = C^PK = α) ---> CP = CK ---> CP = 2

CP + PS = CS ---> 2 + PS = 3 ---> PS = 1 

BD² = AD² + AB² ---> BD² = a² + b²

AK² = BK² + AB² ---> AK² = (a - 2)² + b² ---> AM = KM = AK/2

PK = CK.cosα + CP.cosα ---> PK = 4.cosα


DS² = CD² - CS² ---> DS² = b² - 3² ---> DS² = b² - 9


DS² = DP² - PS² ---> b² - 9 = DP² - 1² ---> DP² = b² - 8 


Sejam A(0, 0), B(0, b), C(a, b), D(a, 0), K(a-2, b)

Determine as equações das retas AK, BD, DK e CS -->

MK é perpendicular a BD e CS é perpendicular a BD

Tente continuar

POr geometria:
[latex]KCP_{( isos.)} \implies CP=KC=2 \\ PS=CS-CP=3-2=1\\ \triangle KCD \sim \triangle PSD \implies \frac{KC}{PS}=\frac{CD}{SD} \implies\frac{2}{1}=\frac{CD}{SD}\\ \therefore CD = 2SD \implies \angle SCD = 30^o \therefore \angle KCP = 60^o \implies \triangle KP_{(equil.)}\\ \triangle CDS: CD = \frac{2CS}{\sqrt3}\implies CD = 2\sqrt3\\ \triangle BCD: BD = 2CD=4\sqrt3\\ \therefore BC = \frac{BC.\sqrt3}{2} = 6\\ \triangle BAK: AK^2 = BK^2+AB^2=4^2+(2\sqrt3)^2=28 \therefore AK = 2\sqrt7\\ \therefore AM = MK = \sqrt7\\ \triangle BOK \sim \triangle DOA: \frac{AM+MO}{6}=\frac{MK-OM}{4} \implies OM= \frac{AM}{5}\\ \therefore OM = \frac{\sqrt7}{5}\\ OK=MK-OM=\sqrt7-\frac{\sqrt7}{5}=\frac{4\sqrt7}{5} \\ \beta=\angle KOD\cong \angle LOM\\ \triangle OKD:\frac{4}{sen\beta}=\frac{4\sqrt7}{5sen30^o} \implies sen \beta=\frac{5}{2\sqrt7}\\ ML=OM . sen \beta=\frac{\sqrt7}{5}.\frac{5}{2\sqrt7}=\boxed{\frac{1}{2}}[/latex]