Números complexos

Sejam os números complexos: Z1= (1 – i)4 e Z2= (√2 + √2 i)4. A diferença Z1 – Z2 é igual a:

Gabarito: 12

Consulplan 2015. Obrigada

Olá! 

\( (1-i)^4 = (1-i)^2 \; (1-i)^2 = -2i \; . \; -2i = -4 \)

\( (\sqrt2 + i\sqrt2)^4 = (\sqrt2 + i\sqrt2)^2 \; (\sqrt2 + i\sqrt2)^2 = 4i \; . \; 4i = -16 \)

\( -4 -(-16) = \boxed{12} \)

Se você quiser, a questão também sai com a forma trigonométrica desses números complexos.
Eu estava escrevendo, mas tive que parar. Mais tarde coloco desse jeito também, para complementar o tópico.

Para não confundir as letras, chame:

\( w = 1 - i\) e \( k = \sqrt2 + i\sqrt2 \). Veja que:

\( arg(w) = arctan( \frac{-1}{1}) \implies arg(w) = 315º\), pois o afixo de w pertence ao quarto quadrante.

Analogamente. \(arg(k) = arctan( \frac{\sqrt2}{\sqrt2}) \implies arg(k) = 45º \), pois o afixo de k pertence ao primeiro quadrante. Então:

\(w = \sqrt2 cis(315º) \)
\(k = 2 cis(45º) \)

Por Moivre:

\( w^4 = (\sqrt2)^4 \; cis (1260º) \implies w^4 = 4 cis(180º) \therefore w^4 = -4 \)

\(k^4 = 2^4 \; cis(180º) \therefore k^4 = -16 \)

Mas veja que \(w^4 = Z_1 \; e \; k^4 = Z_2 \). Portanto:

\( Z_1 - Z_2 = -4 - (-16) \therefore \boxed{ Z_1 - Z_2 = 12} \)