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Números complexos

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Mensagem por gabriel 93 Ter 11 Fev 2014, 16:20

Bom, estou com uma dúvida em números complexos envolvendo módulo que não está me deixando avançar nessa parte. Lá vai a questão:

Determine todos os complexos z tais que:
|Z|=1 e |z² + z-²|=1

Bom, caso tenha ficado confuso: Dentro do módulo é o Módulo da soma dos quadrados(sendo um tendo como expoente -2) do Z.

Se alguém conseguir me ajudar, sou grato.

gabriel 93
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Mensagem por PedroCunha Ter 11 Fev 2014, 17:36

Alguém?
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Mensagem por VictorCoe Qua 12 Fev 2014, 00:52

Temos Z = |Z|.(cosθ+isenθ) : 

|z²+1/z²|=
|(z^4+1)/z²|


Pela propriedade do módulo, temos: 

|(z^4+1)/z²|=|(z^4+1)|/|z²|  

Se |Z| é 1, |Z²| também é 1, logo 

=> 
|(z^4+1)|=1


Pelo teorema de Moivre, Z^n=|Z|^n(cos(nθ)+isen(nθ)), logo: 

|cos(4
θ)+isen(4θ)+1|=1 ---> |(1+cos(4θ))+isen(4θ))|=1 

=> (1+cos(4
θ))^2+sen²(4θ)=1 => 1+cos²(4θ)+sen²(4θ)+2cos(4θ)=1 
Portanto,cos(4
θ)=-1/2, logo, 4θ=arg(Z)=2π/3+2kπ => θ=arg(Z)=π/6+kπ/2

Se substituirmos em Z, temos: 



Z = |Z|.(cosθ+isenθ), onde |Z|=1, logo Z=(cos(π/6)+isen(π/6)


E finalmente, temos que :

Z=(
√3+i)/2  
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Mensagem por PedroCunha Qua 12 Fev 2014, 00:58

Valeu.
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Mensagem por Luck Qua 12 Fev 2014, 17:53

VictorCoe, vc só esqueceu de considerar as outras soluções depois de cos(4θ) = -1/2 .. outro caminho:

seja z =cisθ , então:
|cis(2θ) + cis(-2θ) | = 1
|cos(2θ) + isen(2θ) + cos(2θ) - isen(2θ) | = 1
|2cos(2θ)|= 1 ∴ cos(2θ) = +-1/2 
2θ = pi/3 + kpi  ou 2θ = 2pi/3 + kpi
θ = pi/6 + kpi/2 ou θ = pi/3 + kpi/2
θ = (pi+3kpi)/6 ou θ = (2pi+3kpi)/6 , possíveis valores:
θ = pi/6, 2pi/3, 7pi/6 , 5pi/3 , pi/3 , 5pi/6 , 4pi/3 , 11pi/6  = 8 soluções


S = { ± (1/2)  ± (√3/2)i   , ± (√3/2) ± (1/2)i } 
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