Números complexos
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Números complexos
Bom, estou com uma dúvida em números complexos envolvendo módulo que não está me deixando avançar nessa parte. Lá vai a questão:
Determine todos os complexos z tais que:
|Z|=1 e |z² + z-²|=1
Bom, caso tenha ficado confuso: Dentro do módulo é o Módulo da soma dos quadrados(sendo um tendo como expoente -2) do Z.
Se alguém conseguir me ajudar, sou grato.
Determine todos os complexos z tais que:
|Z|=1 e |z² + z-²|=1
Bom, caso tenha ficado confuso: Dentro do módulo é o Módulo da soma dos quadrados(sendo um tendo como expoente -2) do Z.
Se alguém conseguir me ajudar, sou grato.
gabriel 93- Iniciante
- Mensagens : 2
Data de inscrição : 11/02/2014
Idade : 30
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Re: Números complexos
Alguém?
PedroCunha- Monitor
- Mensagens : 4639
Data de inscrição : 13/05/2013
Idade : 27
Localização : Viçosa, MG, Brasil
Re: Números complexos
Temos Z = |Z|.(cosθ+isenθ) :
|z²+1/z²|=|(z^4+1)/z²|
Pela propriedade do módulo, temos:
|(z^4+1)/z²|=|(z^4+1)|/|z²|
Se |Z| é 1, |Z²| também é 1, logo
=> |(z^4+1)|=1
Pelo teorema de Moivre, Z^n=|Z|^n(cos(nθ)+isen(nθ)), logo:
|cos(4θ)+isen(4θ)+1|=1 ---> |(1+cos(4θ))+isen(4θ))|=1
=> (1+cos(4θ))^2+sen²(4θ)=1 => 1+cos²(4θ)+sen²(4θ)+2cos(4θ)=1
Portanto,cos(4θ)=-1/2, logo, 4θ=arg(Z)=2π/3+2kπ => θ=arg(Z)=π/6+kπ/2
Se substituirmos em Z, temos:
Z = |Z|.(cosθ+isenθ), onde |Z|=1, logo Z=(cos(π/6)+isen(π/6))
E finalmente, temos que :
Z=(√3+i)/2
|z²+1/z²|=|(z^4+1)/z²|
Pela propriedade do módulo, temos:
|(z^4+1)/z²|=|(z^4+1)|/|z²|
Se |Z| é 1, |Z²| também é 1, logo
=> |(z^4+1)|=1
Pelo teorema de Moivre, Z^n=|Z|^n(cos(nθ)+isen(nθ)), logo:
|cos(4θ)+isen(4θ)+1|=1 ---> |(1+cos(4θ))+isen(4θ))|=1
=> (1+cos(4θ))^2+sen²(4θ)=1 => 1+cos²(4θ)+sen²(4θ)+2cos(4θ)=1
Portanto,cos(4θ)=-1/2, logo, 4θ=arg(Z)=2π/3+2kπ => θ=arg(Z)=π/6+kπ/2
Se substituirmos em Z, temos:
Z = |Z|.(cosθ+isenθ), onde |Z|=1, logo Z=(cos(π/6)+isen(π/6))
E finalmente, temos que :
Z=(√3+i)/2
VictorCoe- Fera
- Mensagens : 530
Data de inscrição : 20/02/2012
Idade : 27
Localização : Fortaleza/Ceará
Re: Números complexos
Valeu.
PedroCunha- Monitor
- Mensagens : 4639
Data de inscrição : 13/05/2013
Idade : 27
Localização : Viçosa, MG, Brasil
Re: Números complexos
VictorCoe, vc só esqueceu de considerar as outras soluções depois de cos(4θ) = -1/2 .. outro caminho:
seja z =cisθ , então:
|cis(2θ) + cis(-2θ) | = 1
|cos(2θ) + isen(2θ) + cos(2θ) - isen(2θ) | = 1
|2cos(2θ)|= 1 ∴ cos(2θ) = +-1/2
2θ = pi/3 + kpi ou 2θ = 2pi/3 + kpi
θ = pi/6 + kpi/2 ou θ = pi/3 + kpi/2
θ = (pi+3kpi)/6 ou θ = (2pi+3kpi)/6 , possíveis valores:
θ = pi/6, 2pi/3, 7pi/6 , 5pi/3 , pi/3 , 5pi/6 , 4pi/3 , 11pi/6 = 8 soluções
S = { ± (1/2) ± (√3/2)i , ± (√3/2) ± (1/2)i }
seja z =cisθ , então:
|cis(2θ) + cis(-2θ) | = 1
|cos(2θ) + isen(2θ) + cos(2θ) - isen(2θ) | = 1
|2cos(2θ)|= 1 ∴ cos(2θ) = +-1/2
2θ = pi/3 + kpi ou 2θ = 2pi/3 + kpi
θ = pi/6 + kpi/2 ou θ = pi/3 + kpi/2
θ = (pi+3kpi)/6 ou θ = (2pi+3kpi)/6 , possíveis valores:
θ = pi/6, 2pi/3, 7pi/6 , 5pi/3 , pi/3 , 5pi/6 , 4pi/3 , 11pi/6 = 8 soluções
S = { ± (1/2) ± (√3/2)i , ± (√3/2) ± (1/2)i }
Luck- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 5322
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