Questão 17 da OBMEP - Lógica
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Questão 17 da OBMEP - Lógica
por Gömböc Qui 23 Nov 2023, 10:34
Nas faces de um cubo estão escritos números inteiros positivos diferentes, entre os quais 1, 3 e 6, como na figura. O produto de números escritos em faces opostas é sempre o mesmo. Além disso, existem 3 diferentes nas quais os números escritos têm produto igual a 98. Qual é o maior número que aparece em alguma face deste cubo?
A) 7
B) 14
C) 21
D) 28
E) 42
Gabarito: E.
O pedido de ajuda que vos faço, para além de uma resolução prática, é o de apontar o erro no meu raciocínio ao tentar solucionar esta questão. Segue:
x * y * z = 98
O enunciado nos diz que o produto de faces opostas é sempre igual, portanto, assumindo que x seja face oposta de 6, z de 3 e y, de 1, temos que:
6x = 3z = y
A partir disso, coloquei a equação inicial em função de uma única grandeza, a fim de solucioná-la. Fiz isso com o x:
x = x; y = 6x; z = 2x
x * 6x * 2x = 98
E foi aqui que percebi que minha ideia não funciona, porque a divisão 12x^3 = 98 não daria resultado exato. Por quê? Teoricamente eu fiz tudo corretamente, não fiz?
A) 7
B) 14
C) 21
D) 28
E) 42
Gabarito: E.
O pedido de ajuda que vos faço, para além de uma resolução prática, é o de apontar o erro no meu raciocínio ao tentar solucionar esta questão. Segue:
x * y * z = 98
O enunciado nos diz que o produto de faces opostas é sempre igual, portanto, assumindo que x seja face oposta de 6, z de 3 e y, de 1, temos que:
6x = 3z = y
A partir disso, coloquei a equação inicial em função de uma única grandeza, a fim de solucioná-la. Fiz isso com o x:
x = x; y = 6x; z = 2x
x * 6x * 2x = 98
E foi aqui que percebi que minha ideia não funciona, porque a divisão 12x^3 = 98 não daria resultado exato. Por quê? Teoricamente eu fiz tudo corretamente, não fiz?
Gömböc- Iniciante
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Re: Questão 17 da OBMEP - Lógica
por petras Qui 23 Nov 2023, 10:53
Você está determinando que x seja uma das faces ocultas e depois considerou que o produto das faces sendo 98, seria formado pelas faces ocultas o que não é especificado pelo enunciado pois o produto não é formado necessariamente pelas faces ocultas..
Se são 3 numeros diferentes e o produto é 98 só teremos a possibilidade de 1:7:14 ou 1:2:49..Agora é só preencher as faces oculas com esses valores e encontrar a resposta
Se são 3 numeros diferentes e o produto é 98 só teremos a possibilidade de 1:7:14 ou 1:2:49..Agora é só preencher as faces oculas com esses valores e encontrar a resposta
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"Ex nihilo nihil fit"
petras- Monitor
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Re: Questão 17 da OBMEP - Lógica
por dieg01mp Ter 05 Dez 2023, 10:17
Ao fatorar o 98 em inteiros, você obtém o produto 2 * 7². No entanto, fica bem claro, pelo enunciado, que os números do dado são todos diferentes, de modo que o produto entre três números do dado jamais poderiam envolver dois 7's. Logo, é possível inferir que o produto, 98, deve ser obtido a partir da multiplicação entre dois dos divisores de 98 e um dos números do dado. Os divisores de 98 são 1,2,7,14,49,98. Fato é que o 98 só pode ser obtido, como um produto de três números dos dados, se esses três números forem 7,14 e 1, já que é impossível obter o 98 a partir da multiplicação entre seus divisores e um outro número do dado que não faça parte desse conjunto - o conjunto de divisores de 98. Portanto, uma vez que, como dito no enunciado, os produtos de números opostos são iguais, o 7 deve estar oposto ao 6, enquanto o 14 deve estar oposto ao 3, de modo a obter o valor 42 para ambos os produtos. Finalmente, o último lado a ser desvendado deve ter o número 42, já que 1*42 = 42, assim como os outros 2 produtos.
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