Subconjuntos de A que não possuem dois números consec.

por lucas.paranhos13 Sáb 22 Jul 2023, 21:28

Seja o conjunto A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Considere os subconjuntos de A, com quatro elementos, que não possuem dois números consecutivos.

A quantidade de tais subconjuntos é igual a:

A)15
B)21
C)35
D)70
E)126

por **Elcioschin** Dom 23 Jul 2023, 20:16

Começando por 1:

(1, 3, 5, 7), (1, 3, 5, Cool

, (1, 3, 5, 9), (1, 3, 5, 10)
(1, 3, 6, Cool

, (1, 3, 6, 9), (1, 3, 6, 10)
(1, 3, 7, 9), (1, 3, 7, 10)
(1, 3, 8, 10)

(1, 4, 6, Cool

, (1, 4, 6, 9), (1, 4, 6, 10)
(1, 4, 7, 9), (1, 4, 7, 10)
(1, 4, 8, 10)

(1, 5, 7, 9), (1, 5, 7, 10)
(1, 5, 8, 10)

(1, 6, 8, 10)

Complete, começando por 2, 3, 4, 5, 6

por Edsonrs Dom 23 Jul 2023, 22:05

Acho que as opções estão erradas. Encontrei 30, fazendo no braço com o auxílio do Excel.

por Edsonrs Dom 23 Jul 2023, 22:08

1	3	5	7
1	3	5	8
1	3	5	9
1	3	5	10
1	3	6	8
1	3	6	9
1	3	6	10
1	3	7	9
1	3	8	10
1	4	6	8
1	4	6	9
1	4	6	10
1	4	7	9
1	4	7	10
1	4	8	10
1	5	7	9
1	5	7	10
1	6	8	10
2	4	6	8
2	4	6	9
2	4	6	10
2	5	7	9
2	5	8	10
2	6	7	10
2	7	8	10
3	5	7	9
3	5	7	10
3	5	8	10
3	6	8	10
4	6	8	10

por **Elcioschin** Seg 24 Jul 2023, 08:51

Ficou faltando

2 - 5 - 7 - 10

2 - 6 - 7 - 9

2 - 6 - 8 -10

por **petras** Seg 24 Jul 2023, 10:20

Faltaram também 1-5-8-10 : 1-3-7-10 : 2-4-7-9 : 2-4-7-10

por Edsonrs Seg 24 Jul 2023, 11:25

{2,6,7,9} não vale.
Não creio que a resolução "braçal" seja a desejada, deve haver uma solução lógico-matemática. Se tal solução não existir, a questão não faz sentido.

por Lucas_DN684 Seg 24 Jul 2023, 12:14

Edsonrs escreveu:{2,6,7,9} não vale.
Não creio que a resolução "braçal" seja a desejada, deve haver uma solução lógico-matemática. Se tal solução não existir, a questão não faz sentido.

Concordo contigo nesse ponto. Por isso desconfiei que essa questão poderia ser resolvida usando análise combinatória. Até tentei usar o PFC e separar em casos de primeira, mas de cara vi que seria insano abrir em todos os casos, então recorri a outros meios. O que achei foi isto:

Primeiro Lema de Kaplansky:

"O conjunto {1, 2, ..., n} tem C( n – p + 1, p), leia-se combinação ..., subconjuntos com p elementos onde não aparecem números consecutivos."

Logo, o resultado é 35.