Divisibilidade e Potenciação

A soma dos três últimos dígitos de [latex]19^{92}[/latex] é:

a) 6
b) 9
c) 12 
d) 15
e) 19

Teorema binomial:

[latex]\begin{align*}
19^{92} &= (20-1)^{92} \\~\\
&= \sum_{i= 0}^{92} {92 \choose i } (-1)^{92-i} \cdot (20)^{i}\\
&=1 - {92 \choose 0 } \cdot 20 +{92 \choose 1 } \cdot 20^2 -{92 \choose 2 } \cdot 20^3+\cdots
\end{align*}
[/latex]

Observe que a partir do terceiro termo, todos serão múltiplos de 1000. Tirando módulo 1000:

[latex]\begin{align*}
19^{92} &= 1 - {92 \choose 1 } \cdot 20 +{92 \choose 2 } \cdot 20^2 -{92 \choose 3 } \cdot 20^3+\cdots \\
&\equiv 1 - {92 \choose 1 } \cdot 20 +{92 \choose 2 } \cdot 20^2 \mod 1000\\
&\equiv 1 -92\cdot 20 + \dfrac{92\cdot 91}{2}\cdot 20^2 \mod 1000\\
&\equiv 1 +92\cdot20\cdot\left(91\cdot 10 -1 \right) \mod 1000\\
&\equiv 1 +1840\cdot909\mod 1000\\
&\equiv 1+ 840\cdot 909 \mod 1000\\
&\equiv 1+840\cdot 900 + 840\cdot 9 \mod 1000\\
&\equiv 1+840\cdot 9 \mod 1000\\
&\equiv 1+8400 -840 \mod 1000\\
&\equiv 1+400-840 \mod 1000\\
&\equiv 1+400+160\mod 1000\\
&\equiv 561
\end{align*}
[/latex]
Portanto os últimos 3 dígitos são 561 e sua soma é 5+6+1 = 12.

Creio que seja isso.

Obrigado Tales