Divisibilidade

Qual é o total de números naturais em que o resto é o quadrado do quociente na divisão por 26?

A) zero
B) dois
C) seis
D) sete
E) vinte e cinco

GAB: C

William Lima escreveu:Qual é o total de números naturais em que o resto é o quadrado do quociente na divisão por 26?

A) zero
B) dois
C) seis
D) sete
E) vinte e cinco

GAB: C

Bom dia, William.
 
D = dividendo
d = divisor
q = quociente
r = resto
 
D = 26*q + r
r = q²
 
D = 26q + q²
q² + 26q - D = 0
 
Resolvendo por Bhaskara:
q = (- 26 ± √(676 + 4D)/2
 
Aqui, delta deve ser quadrado perfeito; portanto, fica:
676 + 4D = k²
k² - 676 = 4D
 
(k + 26)(k - 26) = 4D ..... (I)
 
Determinando o valor da soma e da diferença entre os fatores do primeiro membro de (I), vem:
k + 26
k − 26
------------
2k (soma)
 
k + 26
-k + 26
---------
52 (diferença)
 
Temos, pois, as seguintes informações:
S = 2k
D = 52
P = 4D (múltiplo de 4)
 
Formando um quadro dos possíveis fatores do primeiro membro de (I):
Fat.dif___Fat.soma___P=4D_______D____q____r
0 _________ 52 _______ 0 ______ 0____0____0
2 _________ 54 _____ 108 _____ 27____1____1
4 _________ 56 _____ 224 _____ 56____2____4
6 _________ 58 _____ 348 _____ 87____3____9
8 _________ 60 _____ 480 ____ 120____4___16
10 ________ 62 _____ 620 ____ 155____6___25 (resto máximo para d=26)
 
6 possibilidades: 0, 27, 56, 87, 120 e 155.
 
Alternativa (C)
 
Nota: Descartei os Fat.dif ímpares porque iriam geram P ímpar, portanto não divisíveis por 4.
 
 
 
Receba, do Senhor Jesus, um abençoado domingo e semana próxima!

Ivomilton

A equação correta do 2º grau é q² + 26q - D = 0

Elcioschin escreveu:Ivomilton

A equação correta do 2º grau é q² + 26q - D = 0

Bom dia, caro Elcio.
Fiz certo, mas enganei-me ao digitar: teclei no (-) por engano.
Muito obrigado pelo aviso.



Um grande abraço!