(SAS 2020.1) Conjuntos

Um concurso para professores é dividido em etapas de prova: escrita, oral e de títulos. Se um candidato reprova em todas as etapas, ele é desclassificado do concurso. Caso contrário, o candidato é classificado de acordo com a quantidade de provas em que foi aprovado. Dos 13 500 inscritos que participaram do concurso, 3 300 foram desclassificados, 5 800 foram aprovados na prova escrita, 4 900 foram aprovados na prova oral, 4 200 foram aprovados na prova de títulos e 4 100 foram aprovados em pelo menos duas das provas.

A quantidade de candidatos que conseguiu aprovação nas três

a) 300
b) 600
c) 2 600
d) 2 700
e) 4 700

Resposta:

Desenhe o Diagrama de Venn para as três provas E(escrita), V(oral) e T(títulos)

Sejam e, v, t somente E, V, T
x = somente e e v, y = somente v e t, w = somente t e e
z = aprovados nas três provas
n = reprovados nas três provas ---> n = 3 300

E = 5 800 ---> V = 4 900 ---> T = 4 200

x + y + w + z = 4 100 ---> I

e + x + w + z = 5800 ---> II

v + x + y + z = 4 900 ---> III

t + y + w + z= 4 200 ---> IV

(e + v + t) + (x + y + w) + z + 3 300 = 13 500 ---> V

Resolva o sistema

Oi, esta questão também pode ser resolvida pelo Princípio de Inclusão e Exclusão.

Vamos considerar as aprovações nas provas de Escrita, Oral e de Títulos como os conjuntos O, A e T respectivamente.

Como 3300 candidatos foram desclassificados, podemos chegar a conclusão que a quantidade dos classificados é igual a 13500 - 3300  =10200, ou seja n(E ∪ O ∪ T) = 10200. (Este símbolo significa a união dos 3 conjuntos de cada classificação).

  Assim, aplicando o Princípio da Inclusão, temos:
n(E ∪ O ∪ T) = n(E) + n(O) + n(T) - n(E Ո O) - n(E Ո T) - n(O Ո T) + n(E Ո O Ո T)
  (10200)        5800   4900    4200
(isso significa somar os elementos dos conjuntos(1), subtrair as intersecções já que estas foram repetidas nas somas dos elementos (2) e por fim, somar a interseção de todos os elementos, já que esta foi eliminada no passo 2).

n(E Ո O) + n(E Ո T) + n(O Ո T) - n(E Ո O Ո T) = 4700 (A)

  Como 4100 pessoas foram aprovadas em pelo menos duas provas, tem-se:
4100 = n((E Ո O) ∪ n(E Ո T) ∪ n(O Ո T))
4100 = n(E Ո O) + n(E Ո T) + n(O Ո T) - 2.n(E Ո O Ո T) 
(isso significa somar as intersecções, que é a quantidade de pessoas com pelo menos 2 aprovações, menos a parte que é "repetida" na hora da soma).

  Assim, reescrevendo a ultima igualdade usando a equação (A) temos:

4100 = n(E Ո O) + n(E Ո T) + n(O Ո T) - n(E Ո O Ո T) - n(E Ո O Ո T)
4100 - 4700 =  - n(E Ո O Ո T)

n(E Ո O Ո T) = 600

Alternativa B

Para uma melhor visualização dos casos, você pode utilizar o Diagrama de Venn com o Princípio de Inclusão e Exclusão 

Elcioshin e AlanisAlanis, muitíssimo obrigada pela ajuda!!! As explicações foram excepcionais, AlanisAlanis!!! Valeu!