TRIGONOMETRIA

COMO DETERMINAR  O CONJUNTO IMAGEM DA FUNÇÃO? f:R →R/f(x)=2cos*2(2x) + sen(2x) - 1


Marcilio

MARCILIO ANTÔNIO BLAZUTTI escreveu:COMO DETERMINAR  O CONJUNTO IMAGEM DA FUNÇÃO? f:R →R/f(x)=2cos*2(2x) + sen(2x) - 1


Marcilio

Marcílio, sua postagem infringe as regras do fórum:

XI- Não use letras maiúsculas para o título ou o corpo do texto da questão.

Além disso, organize a função proposta. Da forma que está, seria esta função: f(x) = 2cos2(2x) + sen(2x) - 1. Era isso mesmo?

Temos
 [latex]\begin{align*}
 f(x) &= 2\cos^2(2x)+\sin(2x) -1  \\~\\ &= 2\cdot\left[1-\sin^2(2x)\right]+\sin(2x)-1 \\~\\ &= -2\sin^2(2x)+\sin(2x) +1\\~\\
&= -2\cdot\left[\sin^2(2x) -\dfrac{\sin(2x)}{2}\right]+1 \\~\\
&= -2\cdot\left[\sin^2(2x) +2\cdot \sin(2x)\cdot  \dfrac{1}{4}\right]+1\\~\\
&= -2\cdot\left[\sin^2(2x) +2\cdot \sin(2x)\cdot  \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{16} -\dfrac{1}{16} \right]+1
&= \underbrace{-2\cdot\left[\sin(2x) +\dfrac{1}{4}\right]^2}_{\leq 0} +\dfrac{9}{8}
\end{align*}
[/latex]

O maior valor possível para f(x) é 9/8. O menor ocorre quando sin(2x) = 1 (x = pi/4 por exemplo), e obtemos f(x) = -2*(1+1/4)^2 +9/8 = -2.