Trigonometria

por **fantecele** Qua 19 Jun 2019, 22:19

Vou colocar uma questão aqui, interessante ela, talvez um pouco trabalhosa, mas legal de se resolver.

Prove que:

$\tiny \\\sqrt[3]{cos\left ( \frac{2\pi}{9} \right )}+\sqrt[3]{cos\left ( \frac{4\pi}{9} \right )}+\sqrt[3]{cos\left ( \frac{8\pi}{9} \right )}=\sqrt[3]{\frac{3\sqrt[3]{9}-6}{2}}$

por SnoopLy Qua 19 Jun 2019, 22:57

Fantecele, parece interessante mesmo. Pensei no seguinte

\cos(3\cdot\frac{2\pi}{9})=4\cos^3\left ( \frac{2\pi}{9} \right )-3\cos \left ( \frac{2\pi}{9} \right )

\cos(3\cdot\frac{4\pi}{9})=4\cos^3\left ( \frac{4\pi}{9} \right )-3\cos \left ( \frac{4\pi}{9} \right )

\cos(3\cdot\frac{8\pi}{9})=4\cos^3\left ( \frac{8\pi}{9} \right )-3\cos \left ( \frac{8\pi}{9} \right )

Então o polinômio

4t^3-3t-\frac{1}{2}=0

Contém as raízes:

\cos\left(\frac{2\pi}{9}\right);\cos\left(\frac{4\pi}{9}\right);\cos\left(\frac{8\pi}{9}\right)

O que quebra agora é achar a soma das raízes cúbicas dos zeros desse polinômio, kkkkkj

Talvez mexendo com transformadas saia algo, irei pensar. Tenho quase certeza que já vi essa questão antes

por **fantecele** Qua 19 Jun 2019, 23:45

Opa, não irei falar muito para não dar "spoiler" kkkk, mas você está indo bem.

por SnoopLy Qui 20 Jun 2019, 10:02

Não consegui pensar em muita coisa, talvez fazendo algumas considerações

a^3+b^3+c^3=cos\left(\frac{2\pi}{9}\right)+cos\left(\frac{4\pi}{9}\right)+cos\left(\frac{8\pi}{9}\right)=0

a^3 b^3 c^3=-1/2

e que a^3b^3+ a^3c^3 + b^3c^3=-3 pra tentar achar o polinômio que contém a+b+c pra conseguir provar o que foi pedido

Mas, não tive muitas esperanças nessa ideia. Eu sei que fazendo uma substituição em

P(x)=4t^3-3t+\frac{1}{2} \rightarrow t=u^3

A soma das raízes reais seria exatamente o que a questão quer, mas o problema é que as raízes são extremamente feias, kkkkkkj

por **fantecele** Qui 20 Jun 2019, 10:49

Você teve boas idéias, tente desenvolver mais um pouco, talvez a resposta saia por elas.

por SnoopLy Qui 20 Jun 2019, 12:14

Tive que pedir ajuda nessa parte pro Bertolucci, a ideia seria montar um polinômio genérico

R(x)=x^3-px^2+qx-r

Onde as raízes da equação são justamente

\\\sqrt[3]{cos\left ( \frac{2\pi}{9} \right )};\sqrt[3]{cos\left ( \frac{4\pi}{9} \right )};\sqrt[3]{cos\left ( \frac{8\pi}{9} \right )}

E daí pra frente é maior trabalheira usando as relações de girard que

"a^3+b^3+c^3=cos\left(\frac{2\pi}{9}\right)+cos\left(\frac{4\pi}{9}\right)+cos\left(\frac{8\pi}{9}\right)=0

a^3 b^3 c^3=-1/2

a^3b^3+ a^3c^3 + b^3c^3=-3"

Queria continuar tentando fazer, mas no final não estou conseguindo manipular a equação que eu achei pra achar a soma a+b+c

Quem quiser continuar a questão, sinta-se à vontade

por **fantecele** Qui 20 Jun 2019, 12:49

Dica:

por SnoopLy Qui 20 Jun 2019, 13:14

fantecele escreveu:
Dica:

Sobre a dica:

por **fantecele** Qui 20 Jun 2019, 13:46

Sobre a dica da dica:

por **fantecele** Sex 21 Jun 2019, 16:20

Não irei colocar a resolução agora, apenas irei colocar os passos para a resolução da questão, cabe a pessoa seguir esses passos e tentar resolver a questão. Irei considerar o que já foi feito pelo colega SnoopLy, no caso encontrando aquele primeiro polinomio e as relações de Girard daquela maneira que ele colocou.