Frações Parciais

Calcule a Primitiva de (2x³ + 3x + 2)/(2x² - 4x + 2)

O primeiro passo é dividir \(2x³ + 3x + 2\) por \(2x² - 4x + 2\). Fazendo as contas obtemos:
\( 2x^3 + 3x + 2 = (2x^2 - 4x + 2)(x+2) + (9x-2) \)

Ou seja:
\( \dfrac{2x³ + 3x + 2}{2x^2 - 4x + 2} = x+2 + \dfrac{9x-2}{2x^2 - 4x + 2}\)

Agora decompomos \( \dfrac{9x-2}{2x^2 - 4x + 2}\) em frações parciais. Fatorando o denominador, temos \( 2x^2 - 4x + 2 = 2(x-1)^2\). Logo, queremos encontrar \(A,B,C\) tais que

\( \dfrac{9x-2}{2x^2 - 4x + 2} = \dfrac{A}{2(x-1)} +  \dfrac{Bx +C}{2(x-1)^2} \implies A(x-1) + (Bx+C) = 9x-2\)

Comparando ambos os lados, obtemos \( A = 9, B = 0, C = 7\). Agora é só concluir o problema:

\( \displaystyle
\int \dfrac{2x³ + 3x + 2}{2x^2 - 4x + 2} \, dx = \int x+2 + \dfrac{9}{2(x-1)} + \dfrac{7}{2(x-1)^2} \, dx  \implies \)

\( \displaystyle
\boxed{\int \dfrac{2x³ + 3x + 2}{2x^2 - 4x + 2} \, dx = \dfrac {x^2}2 + 2x + \dfrac 92 \ln|x-1| - \dfrac 7{2(x-1)} + C }\)