Números Complexos
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Números Complexos
por victor cruz mt Qui 05 maio 2022, 21:29
(IME) Sejam x1,x2,x3...,xn as raízes de x^n + x^n-1 + .... + x + 1=0. Calcule: 1/(x1-1) + 1/(x2-1) +....+ 1/(xn-1)
Resposta:-n/2
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victor cruz mt- Recebeu o sabre de luz
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Re: Números Complexos
por eduardodudu101 Sáb 14 maio 2022, 01:38
Dado o polinômio P(x),cujas raízes são [latex]x_{1},x_{2}\cdots x_{n}[/latex] ,tem-se:
(I):[latex]P(x) = a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})[/latex]
Derivando (I) em relação a x,e utilizando a regra do produto,tem-se:
(II):[latex]P'(x) = a_{n}(x-x_{2})\cdots (x-x_{n}) + a_{n}(x-x_{1})(x-x_{3})\cdots (x-x_{n}) + \cdots + a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n-1})[/latex]
Já que,para determinado termo [latex](x-x_{k})[/latex]tem-se:
[latex]\frac{\mathrm{d} (x-x_{k})}{\mathrm{d} x} = 1[/latex]
Dividindo (II) por (I):
[latex]\frac{P'(x)}{P(x)} = \frac{1}{x-x_{1}} + \frac{1}{x-x_{2}} + \cdots + \frac{1}{x-x_{n}}[/latex]
Que coincide com a expressão pedida,para x = 1:
Pelo enunciado:
[latex]P(x) = x^^{n} + x^^{n-1} + \cdots + x + 1[/latex]
[latex]P'(x) = nx^^{n-1} + (n-1)x^^{n-2} + \cdots + 1[/latex]
[latex]P(1) = n+1[/latex]
[latex]P'(1) = \frac{(n+1)n}{2}[/latex]
Daí:
[latex]\frac{P'(1)}{P(1)} = \frac{n}{2} = \frac{1}{1-x_{1}} + \frac{1}{1-x_{2}} + \cdots + \frac{1}{1-x_{n}}[/latex]
[latex]\frac{n}{2} = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1-x_{k}}[/latex]
[latex]\frac{n}{2} = -\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}-1}[/latex]
Portanto:
[latex]\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}-1} = -\frac{n}{2}[/latex]
(I):[latex]P(x) = a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})[/latex]
Derivando (I) em relação a x,e utilizando a regra do produto,tem-se:
(II):[latex]P'(x) = a_{n}(x-x_{2})\cdots (x-x_{n}) + a_{n}(x-x_{1})(x-x_{3})\cdots (x-x_{n}) + \cdots + a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n-1})[/latex]
Já que,para determinado termo [latex](x-x_{k})[/latex]tem-se:
[latex]\frac{\mathrm{d} (x-x_{k})}{\mathrm{d} x} = 1[/latex]
Dividindo (II) por (I):
[latex]\frac{P'(x)}{P(x)} = \frac{1}{x-x_{1}} + \frac{1}{x-x_{2}} + \cdots + \frac{1}{x-x_{n}}[/latex]
Que coincide com a expressão pedida,para x = 1:
Pelo enunciado:
[latex]P(x) = x^^{n} + x^^{n-1} + \cdots + x + 1[/latex]
[latex]P'(x) = nx^^{n-1} + (n-1)x^^{n-2} + \cdots + 1[/latex]
[latex]P(1) = n+1[/latex]
[latex]P'(1) = \frac{(n+1)n}{2}[/latex]
Daí:
[latex]\frac{P'(1)}{P(1)} = \frac{n}{2} = \frac{1}{1-x_{1}} + \frac{1}{1-x_{2}} + \cdots + \frac{1}{1-x_{n}}[/latex]
[latex]\frac{n}{2} = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1-x_{k}}[/latex]
[latex]\frac{n}{2} = -\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}-1}[/latex]
Portanto:
[latex]\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}-1} = -\frac{n}{2}[/latex]
eduardodudu101- Jedi
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