(ITA) Números Complexos

Seja Z um número complexo satisfazendo Re(z) > 0 e (z + i)² + |z' + i|² = 6, onde z' é o conjugado de Z. Se n é o menor número natural para o qual Z^n é um imaginário puro, entao n é igual a:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5


Resposta : 2

Obrigado.

(z + i)² + |z' + i|² = 6

Fazendo z = a + bi e considerando a > 0:

(a + bi + i)² + |a - bi + i|² = 6 ----> [a + (b + 1)*i]² + |a + (1 - b)*i|² = 6 ---->

a² + 2a*(b + 1)*i + (b + 1)²*i² + a² + (1 - b)² = 6 ----> 2a² - (b + 1)² + (1 - b)² + 2a*(b + 1)*i = 6 ---->

O termo imaginário do 1º membro deve ser nulo ----> b = - 1

2a² - 0² + 2² + 0 = 6 ----> 2a² + 4 = 6 ----> a² = 1 ----> a = 1

z = 1 - i ----> |z| = \/2 ----> z = \/2*(\/2/2 - i*\/2/2) ----> z = \/2*[cos(7*pi/4) + i*sen(7*pi/4)] ----->

z^n = (\/2)^n*[cos(7*n*pi/4) + i*sen(7*n*pi/4)]

Para ser imaginário puro ----> cos(7*n*pi/4) = 0 ----> 7*n*pi/4 = k*pi + pi/2 ----> 7*n*pi/4 = 4*k*pi/4 + 2*pi/4

7*n = 4*k + 2 ----> n = (4*k + 2)/7 ----> Para k = 3 ---> n = 2

obrigado =]

Elcioschin escreveu:(z + i)² + |z' + i|² = 6

Fazendo z = a + bi e considerando a > 0:

(a + bi + i)² + |a - bi + i|² = 6 ----> [a + (b + 1)*i]² + |a + (1 - b)*i|² = 6 ---->

a² + 2a*(b + 1)*i  + (b + 1)²*i² + a² + (1 - b)² = 6 ----> 2a² - (b + 1)² + (1 - b)² + 2a*(b + 1)*i = 6 ---->

O termo imaginário do 1º membro deve ser nulo ----> b = - 1

2a² - 0² + 2² + 0 = 6 ----> 2a² + 4 = 6 ----> a² = 1 ----> a = 1

z = 1 - i ----> |z| = \/2 ----> z = \/2*(\/2/2 - i*\/2/2) ----> z = \/2*[cos(7*pi/4) + i*sen(7*pi/4)] ----->

z^n = (\/2)^n*[cos(7*n*pi/4) + i*sen(7*n*pi/4)]

Para ser imaginário puro ----> cos(7*n*pi/4) = 0 ----> 7*n*pi/4 = k*pi + pi/2 ----> 7*n*pi/4 = 4*k*pi/4 + 2*pi/4

7*n = 4*k + 2 ----> n = (4*k + 2)/7 ----> Para k = 3 ---> n = 2    

Por que "o termo imaginário do 1° termo dever ser nulo"?

2° membro  = 6
2° membro = 6 + 0.i
o 2° membro não tem termo imaginário, vale zero.