Questão fora de série - AMAN

Um pequeno balde contendo água é preso a um leve e inextensível fio de comprimento L, tal que L = 0,50 m, sendo afixado a uma altura (H) de 1,0 m do solo (S), como mostra a figura. À medida que o balde gira numa circunferência horizontal com velocidade constante, gotas de água que dele vazam atingem o solo formando um círculo de raio R. Considerando 10 m/s2 o módulo da aceleração devida à gravidade e θ = 60°, o valor de R será, em metros:



Gabarito: D

Pessoal, estou repostando uma questão já resolvida no fórum, haja vista que não é possível responder as "questões fora de série" haja vista que não entendi uma parte da mesma!

Link da questão: https://pir2.forumeiros.com/t7789-resolvidoaman-lancamento

A parte 5 da resolução fiquei sem entender como que o mestre Euclides chegou naquela expressão para o valor de R

Na parte 6) eu entendi o motivo de usar a velocidade tangencial, apenas não entendi como chegou naquela expressão também

Up

Vou explicar então como que eu resolvi essa questão.

1) Primeira coisa que eu percebi, é que como o balde está girando com movimento uniforme, ou seja, descrevendo um MCU, e ele me deu o ângulo teta, significa que eu consigo calcular a velocidade tangencial, que vou chamar de v.

tgθ = Fcp/P (Força centrípeta divido pelo Peso do balde)

tgθ = 3^(1/2) (tangente de 60°)

Fcp = m*v^2/r (Fórmula da força centrípeta)

r = L*senθ = L*3^(1/2)/2 = 1/2*3^(1/2)/2 = 3^(1/2)/4 (Raio de giro do balde)

Fcp = m*v^2/3^(1/2)/4 = m*v^2*4*3^(1/2)/3

P = m*g = 10m

tgθ = Fcp/P = 3^(1/2) = [m*v^2*4*3^(1/2)/3] / [10m]

3^(1/2) = v^2*4*3^(1/2)/30

v^2 = 30/4

v = (15/2)^1/2


2) As gotas de água que caem do balde irão escapar pela tangente, e irão ser lançadas para fora do balde, com trajetória de uma parábola (é tipo um lançamento horizontal).

3) Sabendo então que as gotas seguem um lançamento horizontal, eu consigo calcular a distância que ela percorre na horizontal se eu souber sua velocidade na horizontal, e souber a altura que ela está do solo (h) (a velocidade horizontal é calculada através da (1) etapa, que é a velocidade tangencial do balde, e a altura da gota em relação ao solo é só calcular a altura do balde em relação ao teto (ht), e subtrair a altura total (H) dessa altura do balde em relação ao teto.
 
Cálculo da altura do balde em relação ao solo (h):

ht = L*cosθ
h = H - ht
h = H - L*cosθ
h = 1 - 0,5*0,5
h = 0,75

Cálculo da distância percorrida na horizontal pela gota (d):
d = v*t (Sendo (v) a velocidade tangencial do balde, e (t) o tempo que leva pra gota cair no solo)

h = g*t^2/2 (Equação do sorvetão)

t = (2h/g)^1/2
t = (2*0,75/10)^1/2
t = (15/10)^1/2

d = v*t
d = [(15/2)^1/2] * [(15/10)^1/2]
d = 3*2^(1/2)/4

4) Com essas etapas, você já vai ter a distância na horizontal que a gota percorre do balde até chegar no solo, e analisando geometricamente o problema, vai perceber que a relação entre o raio de rotação do balde (r), a distância que a gota percorre na horizontal (d), e o raio do perímetro que é molhado pelas gotas (R) se dá por:
R^2 = d^2 + r^2

 A distância (d) você já calculou na etapa anterior, e o raio (r) já foi calculado na (1) etapa usando o ângulo teta. Faz um pitágoras dos valores e pronto, você tem a resposta.

R^2 = [3*2^(1/2)/4]^2 + [3^(1/2)/4]^2
R^2 = 9*2/16 + 3/16 = 18/16 + 3/16 = 21/16
R = 21^(1/2)/4 (Resposta letra D)