USANDO ÁREAS

As medianas de um triângulo dividem esse triângulo em 6 outros triângulos. Mostre que todos têm mesma área.

Inicialmente note que, triângulos com a mesma altura e a mesma base possuem áreas iguais, dessa forma, no triângulo ABC da figura abaixo, note que os triângulos PCO e POB possuem a mesma altura e mesma base já que CO=OB (AO é mediana então divide BC ao meio) logo, representemos suas áreas por S1, analogamente descobrimos que os triângulos PBN e PAN possuem a mesma área S2 e os triângulos PAM e PCM possuem a mesma área S3, repare agora que, da mesma forma os triângulos ACO e ABO possuem a mesma área, então podemos escrever que S1+2.S3=S1+2.S2 --> S2=S3, analogamente repare que a áreas dos triângulos CBN e CAN são iguais, assim: S2+2.S1=S2+2.S3 --> S1=S3 -->
S1=S2=S3 C.Q.D.