Binômio de newton

Qual o termo em [latex]x^{3}[/latex] no desenvolvimento de [latex](\sqrt{x}-\frac{a^{2}}{x})^{15}[/latex]

Temos pelo termo geral:
[latex]\sqrt{x^{n}}\left ( \frac{a^{2}}{x} \right )^{15-n}=x^{3} \\ \\ \frac{\sqrt{x^{n}}}{x^{15-n}}a^{30-2n} = x^{3}=x^{\frac{n}{2}+n-15}a^{30-2n} \\ \\ \\ \frac{n}{2}+n-15 = 3 \Leftrightarrow 3n = 36\Leftrightarrow n=12 [/latex]

Conferindo a resposta:
[latex]\frac{\sqrt{x^{12}}}{x^{3}}=\frac{x^{\frac{12}{2}}}{x^{3}} =x^{3} [/latex]


Você possui o gabarito?

Rory Gilmore escreveu:Temos pelo termo geral:
[latex]\sqrt{x^{n}}\left ( \frac{a^{2}}{x} \right )^{15-n}=x^{3} \\ \\ \frac{\sqrt{x^{n}}}{x^{15-n}}a^{30-2n} = x^{3}=x^{\frac{n}{2}+n-15}a^{30-2n} \\ \\ \\ \frac{n}{2}+n-15 = 3 \Leftrightarrow 3n = 36\Leftrightarrow n=12 [/latex]

Conferindo a resposta:
[latex]\frac{\sqrt{x^{12}}}{x^{3}}=\frac{x^{\frac{12}{2}}}{x^{3}} =x^{3} [/latex]


Você possui o gabarito?

o Gabarito consta respota "80"

Esse indíce "n" que você colocou dentro da raiz, porque não poderia ser fora?

Obtendo o termo geral:



Portanto, para obtermos x³:





Agora, basta fazer umas continhas:





Não encontrei meu erro, colegas.

Eduardo RabeloITA escreveu:Obtendo o termo geral:



Portanto, para obtermos x³:





Agora, basta fazer umas continhas:





Não encontrei meu erro, colegas.

 

opa perdão, to com uma lista de gabarito acabei confundindo... o gabarito é -455 exatamente igual o seu, muito obrigado e desculpas novamente

Tranquilo john. Até a próxima.

Eu só fiz a conta do n e deixei por sua conta mostrar que o termo é exatamente -455.a⁶x³ como nosso colega mostrou, bastando para isso calcular [latex]\binom{15}{3}[/latex], (a²)³ e seu devido sinal.

A ordem que você está pensando entre n e (15 - n) não existe, pois [latex](x+y)^{r} = (y + x)^{r}[/latex]. Ou seja, fazer da forma que eu fiz é desenvolver o binômio [latex]\left (\frac{-a^{2}}{x}+\sqrt{x} \right )^{15}[/latex] que obviamente é igual a [latex]\left (\sqrt{x} - \frac{a^{2}}{x} \right )^{15}[/latex].

Nas próximas postagens não se esqueça de colocar o gabarito.