Binomio de newton

por thiago ro Sáb 08 Dez 2012, 14:24

quantos termos racionais no desenvolvimento (raiz de 2+raiz de 5)^10

Spoiler:

por **Matheus Vilaça** Sáb 08 Dez 2012, 17:08

Fazemos o desenvolvimento, pela fórmula dos binômios de Newton:

$\small \dpi{100} {\color{Red} \binom{10}{0}\sqrt{2}^{10}.\sqrt{5}^{0}}+\binom{10}{1}\sqrt{2}^{9}.\sqrt{5}^{1}+{\color{Red} \binom{10}{2}\sqrt{2}^{8}.\sqrt{5}^{2}}+\binom{10}{3}\sqrt{2}^{7}.\sqrt{5}^{3}+{\color{Red} \binom{10}{4}\sqrt{2}^{6}.\sqrt{5}^{4}}+\binom{10}{5}\sqrt{2}^{5}.\sqrt{5}^{5}+{\color{Red} \binom{10}{6}\sqrt{2}^{4}.\sqrt{5}^{6}}+\binom{10}{7}\sqrt{2}^{3}.\sqrt{5}^{7}+{\color{Red} \binom{10}{8}\sqrt{2}^{2}.\sqrt{5}^{8}}+\binom{10}{9}\sqrt{2}^{1}.\sqrt{5}^{9}+{\color{Red} \binom{10}{10}\sqrt{2}^{0}.\sqrt{5}^{10}}$

Como pode observar eu coloquei em vermelho todos aqueles em que √2 e √5 possuem expoentes pares, fazendo assim com que as raízes sejam "eliminadas" e tenhamos um número racional. Contando todos eles obteremos 6 termos racionais.

por Luck Sáb 08 Dez 2012, 17:10

Tp+1 = Cn,p a^(n-p).b^p
C10,p (V2)^(10-p).V5^p
0<=p =< 10
para termos racionais p deve ser par
p { 0,2,4,6,8,10} 6 termos

por R. Coelho Sáb 08 Dez 2012, 17:40

thiago esse é um problema classico e muitas pessoas desconsideram o zero cuidado! mas agora te dou um desafio se fosse assim raiz cubica de 3+raiz quadrada de 2,como seria thiago pense bem use o mesmo raciocinio!

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