Comparação de Número real com raízes de equações 2ºGrau

Determine [latex]m[/latex]  na equação de 2º grau [latex]mx^2 - 2(m-1)x - m -1 =0[/latex] para que tenha uma única raíz entre -1 e 2.

Gabarito:

Alguém poderia resolver e me ajudar a identificar o meu erro? 

Minha tentativa de resolução: 
Temos dois casos ou x1 <-1 < x2 < 2 ou -1 < x1 < 2 <  x2




Resolvendo o caso 1: 
[latex]m.f(-1)<0 \Rightarrow m(2m-3)<0 \Rightarrow 0 < m < \frac{3}{2}[/latex] 

[latex]\frac{S}{2} < 2 \Rightarrow \frac{(m-1)}{m} < 2 \Rightarrow \frac{-m-1}{m}<0 \Rightarrow m < -1 \vee m>0[/latex]

Fazendo a intersecção dos intervalos, temos para o caso 1 que: 

[latex] 0 < m < \frac{3}{2}[/latex]

Resolvendo o caso 2

[latex]m.f(2)<0 \Rightarrow m(-m+3)<0 \Rightarrow m<0 \vee m>3[/latex]

[latex]\frac{m-1}{m} > -1 \Rightarrow \frac{2m-1}{m} > 0  \Rightarrow m > \frac{1}{2}[/latex] 

Fazendo a intersecção dos intervalos, temos para o caso 2: 

[latex]m>3[/latex]

Fazendo a união dos intervalos de 1 e 2: 

[latex]m>3  \vee  0 < m < \frac{3}{2}[latex]

Análise do caso 1 ---> m.(2.m - 3) < 0

Se m < 0 a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
Ela é negativa para m < 0 e m > 3/2

Se m > 0 a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Ela é negativa para 0 < m < 3/2

Similar para o caso 2