Comparação de um número real com as raízes.

Determinar m para Que a equação do 2°grau (2m + 1)x²+ 2x + m + 1 = 0
tenha raízes reais tais que 0 < X’< X”< 4.



Alguém pode me ajudar , minhas contas não batem com a resposta m>-3/2 ou m<-1

Encontrei uma resposta diferente; aguardo correção se houver erros.
Devemos ter ∆ > 0, para ter duas raízes reais diferentes.
4 - 4(2m+1)(m+1) > 0 ----> -3/2 < m < 0

0 < x' < x' < 4
Queremos que o 0 e 4 estejam fora do intervalo entre as raízes.
af(4) > 0 ----> (2m+1)*[(2m+1)*4² + 2*4 + m + 1] > 0 ---> m > -1/2 ou m < -25/33
af(0) > 0 ----> (2m+1)*[(2m+1)*0² + 2*0 + m + 1] > 0 ---> m > -1/2 ou m < -1

Fazendo a intersecção dos intervalos, encontra-se:
-1/2 < m < 0
-3/2 < m < -1

Faltou ainda fazer a intereseção com as somas de cada condição,  0 < x' < x'
e x' < x' < 4
S/2>0 e S/2<4. e ai sim a interseção.

Eixo x:       M              0         N             4            P
A condição de que o produto e soma das raízes sejam maiores que 0 impõe que as raízes: estejam somente na região N ou somente na P ou uma em N e outra em P.
Eixo x novo:                0         N             4            P
A condição af(4) > 0 impõe que as raízes estejam ou em P ou em N. O objetivo é que estejam somente em N, mas ainda não consegui pensar em nenhuma condição que faça com que que as raízes se restrinjam somente a região N.
Não entendi como suas condição S/2 < 4 faz com que as raízes sejam menores que 4. S/2 é o ponto médio entre as raízes e poderíamos ter uma raiz depois do 4 e uma antes, fazer a média e dar menor que 4. Isso não garante que ambas raízes estejam antes do 4. Por ex, se as raízes fossem 5 e 3, o ponto médio seria 4, mas ainda assim haveria a raiz 5 que estaria além do 4.

4 - x' > 0
4 - x'' > 0
Acho que essas duas condições servem. Já que x' > 0 e x'' > 0, então a única forma das inequações ali serem positivas é se 0 < x' < 4 e 0 < x'' < 4.
Somando as duas:
8 - (x' + x'') > 0
8 - (-2/(2m+1)) > 0

I) O delta > 0 garante que as raízes serão diferentes e reais.
II) A soma e produto > 0 garantem que as raízes são positivas.
III) A inequação em negrito, em conjunto com II, garante que as raízes estejam entre 0 e 4.

-2/(2m+1) > 0 -----------> soma > 0
(m+1)/(2m+1) > 0 -------> produto > 0
4 - 4(2m+1)(m+1) > 0 ---> raízes diferentes e reais
8 - (-2/(2m+1)) > 0 -----> serem menores que 4.

Jutando os intervalos, temos -3/2 < m < -1.
Não escreveu errado seu gabarito? Afinal, aquele intervalo é incoerente, mas os números estão parecidos com os que encontrei...

Sua resposta está correta, muito obrigado , é que ela está disposta de uma maneira diferente.
m>-3/2 ou m<-1 acredito eu que seja a mesma coisa que -3/2 < m < -1.
que não ficaram claras , devido ao método que eu aplicava para tais questões.

Não, não é a mesma coisa. Agora, m > -3/2 e m < -1 está correto. Se colocou um ou ali muda tudo e sua resposta passa a ser nada mais do que todo o conjunto dos reais e fica totalmente contraditório xD
Disponha.