Comparação - numero real com raízes de 2º III

por Thiago Casanova Dom 03 maio 2015, 19:36

Determine m para que a equação do 2º grau mx² -2(m-1)x +m + 5 = 0 tenha raízes reais tais que x1 < 0 < x2 < 2.

Gabarito= -5 menor que m menor que 1

Pelo oq eu percebi pra fazer a questão seria a intersecção da "solução" da função em relação a x1< 0 < x2 e a solução da mesma função em relação a 0< x2 <2, me corrijam se tiver errado, mas nessa segunda parte eu não sei fazer, já que é uma raiz entre 2 números O.o

Tentei explicar melhor como pude minha duvida Razz

Caso não seja oq pensei, agradeço de agora qualquer explicação.

por Thiago Casanova Seg 04 maio 2015, 14:19

"<" esse simbolo de vez em quando não aparece no post; só na pré-visualização. Editei o gabarito e coloquei literal.

por **Carl Sagan** Seg 04 maio 2015, 20:30

Os sinal em (m-1) é negativo mesmo? Se for (m+1), encontro o gabarito:
-5 < m < -1.

$mx^{2}-2(m+1)x+m+5=0\\ \\ x'<0<x''<2\\ \matrr{Do \ teorema \ de \ Bolzano: \ }P(0) \cdot P(2) < 0\\ \\ \left\{\begin{matrix} P(0)=m+5\\ P(2)=4m-4(m+1)+m+5\\ P(2)=m+1 \end{matrix}\right.\\\\ \\P(0) \cdot P(2) = m^{2}+6m+5<0 \Rightarrow \boxed{\matrr{-5 < m < -1}}$

por Thiago Casanova Seg 04 maio 2015, 20:44

Opa, era (m+1) mesmo Razz

. E eu estava fazendo o fundamentos da matemática elementar 1 e me deparei com a questão, mas n vi esse teorema. Pode me explicar mais sobre ele?

por **Carl Sagan** Seg 04 maio 2015, 20:53

Claro. Esse teorema serve para saber se há um número par ou ímpar de raízes em um intervalo ]a, b[

Se f(a)*f(b)<0, há um número ímpar de raízes (no caso era uma raiz apenas),
se f(a)*f(b)>0, há um número par de raízes (ou zero), e quando f(a)*f(b)=0, a ou b é raíz.
(Isso se deve ao sinal de f(x) que muda ao cruzar o eixo x).

No caso havia uma (quantidade ímpar) raiz no intevalo ]0,2[, então, f(0)*f(2)<0.

Se precisar de mais informações sobre o teorema, procure no site "rumoaoita.com".

por Thiago Casanova Seg 04 maio 2015, 21:00

Vlw Carl. Mas teria outro jeito de fazer essa questão? N precisa fazer a explicação, apenas comentar.

por **Carlos Adir** Seg 04 maio 2015, 21:11

Seja a função:
$\mathrm{f(x)=mx^2-2(m+1)x+m+5}$
Primeiramente, se m>0, a função apresenta concavidade para cima,e consequentemente f(0)>0 e então para satisfazer a condição, f(2)<0.
Logo:
$\begin{cases}\mathrm{m<0} \\ \mathrm{f(0)>0} \\ \mathrm{f(2)<0} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\mathrm{m<0} \\ \mathrm{m>-5} \\ \mathrm{m < -1} \end{cases} \Rightarrow -5 < m < -1$

Agora, se m>0, então a concavidade é para cima, e então f(0)<0 e f(2)>0:
$\begin{cases}\mathrm{m>0} \\ \mathrm{f(0)<0} \\ \mathrm{f(2)>0} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\mathrm{m>0} \\ \mathrm{m<-5} \\ \mathrm{m > -1} \end{cases} \Rightarrow \mathrm{\nexists m}$
Então, a solução final é:
$\boxed{\mathrm{-5 < m < -1}}$

por **CaiqueF** Seg 04 maio 2015, 21:53

Para ter duas raizes reais:
mx² -2(m+1)x +m + 5 = 0
∆>0
(-2(m+1))² - 4*m*(m+5) > 0
4+8m+4m²-4m²-20m > 0
4-12m > 0
m<1/3 (I)

Para o 0 estar entre as raizes:
a*f(0)<0
m(m+5)<0
m²+5m<0
-5 < m < 0 (II)

Para o 2 estar fora das raizes:
a*f(2)>0
m(4m-4m-4+m+5)>0
m(m+1)>0
m²+m>0
m<-1 ou m>0 (III)

Interseção de I, II e III:

-5 < m < -1