Fatoração
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Fatoração
por LARA01 Sex 20 Ago 2021, 10:39
Para quantos inteiros positivos x a expressão x^4+x^3+x^2+x+1 é um quadrado perfeito?
a)0
b)1
c)2
d)3
e)n.d.a
a)0
b)1
c)2
d)3
e)n.d.a
LARA01- Padawan
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Re: Fatoração
por Elcioschin Dom 22 Ago 2021, 00:31
Um possível caminho:
x⁴ + x³ + x² + x + 1 = y²
x⁴ + x³ + x² + x = y² - 1
x⁴ + x³ + x² + x = (y - 1).(y + 1)
Por exemplo para x = 3 ---> 81 + 27 + 9 + 3 = (11 - 1).(11 + 1) ---> 120 = 120
x⁴ + x³ + x² + x + 1 = y²
x⁴ + x³ + x² + x = y² - 1
x⁴ + x³ + x² + x = (y - 1).(y + 1)
Por exemplo para x = 3 ---> 81 + 27 + 9 + 3 = (11 - 1).(11 + 1) ---> 120 = 120
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Fatoração
por SilverBladeII Dom 22 Ago 2021, 02:02
Seja m > 0 tal que m²=x⁴+x³+x²+x+1.
Perceba que, sendo x > 0,
(x²+x/2+1)²=x⁴+x³+2x²+x+1+x²/4
> x⁴+x³+x²+x+1 = m²
> x⁴+x³+x²/4 = (x²+x/2)²
ou seja,
(x²+x/2+1)² > m² > (x²+x/2)²
de forma que
(2x²+x+2)² > 4m² > (2x²+x)²
2x²+x+2 > 2m > 2x²+x
Como x e m são inteiros, a unica opção é
2m=2x²+x+1.
Portanto
4m²=4x⁴+4x³+4x²+4x+4=4x⁴+4x³+5x²+2x+1
x²-2x-3=0
sendo x > 0, a unica opção é x=3.
então há apenas uma solução.
Perceba que, sendo x > 0,
(x²+x/2+1)²=x⁴+x³+2x²+x+1+x²/4
> x⁴+x³+x²+x+1 = m²
> x⁴+x³+x²/4 = (x²+x/2)²
ou seja,
(x²+x/2+1)² > m² > (x²+x/2)²
de forma que
(2x²+x+2)² > 4m² > (2x²+x)²
2x²+x+2 > 2m > 2x²+x
Como x e m são inteiros, a unica opção é
2m=2x²+x+1.
Portanto
4m²=4x⁴+4x³+4x²+4x+4=4x⁴+4x³+5x²+2x+1
x²-2x-3=0
sendo x > 0, a unica opção é x=3.
então há apenas uma solução.
SilverBladeII- Matador
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