Fatoração
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Re: Fatoração
por Matheus Fillipe Sáb 01 Jun 2013, 23:39
(x+y)^5-x^5-y^5
Expandindo:
(x+y)^5=x⁵ + 5x⁴ y + 10x³ y² + 10x² y³ + 5x y⁴ + y⁵
subtraindo x^5-y^5 teremos:
5x⁴ y + 10x³ y² + 10x² y³ + 5x y⁴
dividindo por 5xy:
5xy(x^3 + 2x^2 y + 2x y^2 + y^3)
O termo entre parenteses :
x^3 + 2x^2 y + 2x y^2 + y^3 =(x+y)^3 - xy(x + y)
Onde usamos as propriedades do binômio de newton.
(x+y)^3 = x^3+y^3+3x^2y+3xy^2 = x^3+y^3+3xy(x + y)
Fatorando (x+y).
(x+y)((x+y)^2 -xy)
Finalmente:
(x+y)^5-x^5-y^5 = 5xy(x+y)((x+y)^2 -xy)
Expandindo:
(x+y)^5=x⁵ + 5x⁴ y + 10x³ y² + 10x² y³ + 5x y⁴ + y⁵
subtraindo x^5-y^5 teremos:
5x⁴ y + 10x³ y² + 10x² y³ + 5x y⁴
dividindo por 5xy:
5xy(x^3 + 2x^2 y + 2x y^2 + y^3)
O termo entre parenteses :
x^3 + 2x^2 y + 2x y^2 + y^3 =(x+y)^3 - xy(x + y)
Onde usamos as propriedades do binômio de newton.
(x+y)^3 = x^3+y^3+3x^2y+3xy^2 = x^3+y^3+3xy(x + y)
Fatorando (x+y).
(x+y)((x+y)^2 -xy)
Finalmente:
(x+y)^5-x^5-y^5 = 5xy(x+y)((x+y)^2 -xy)
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