Questão sobre Triângulo de Pascal

Prove e interprete a seguinte identidade, relacionando-a ao Triângulo de Pascal.

$$C_{(n+1,~r)} = C_{(n,~r)}+ C_{(n,~r-1)}$$

Não consigo pegar a lógica de como provar isso, preciso de ajuda!

Seja um conjunto K formado por ''n+1'' elementos.

Vamos organizar esses n elementos em grupos de r,tal que:

[latex]r < n+1[/latex]

Isso pode ser feito da seguinte forma:

[latex]\binom{n+1}{r}[/latex] (I)

Porém,desses r elementos,tomemos um determinado ''a'',tal que a pertença ao conjunto K:

[latex]a \in K[/latex]

Vamos estebelecer outra forma de contagem para formar grupos de r elementos dado o conjunto K:

Desses r elementos,tomemos um determinado ''a'',tal que a pertença ao conjunto K:

[latex]a \in K[/latex]

Vamos tomar os conjuntos formado por r elementos,tal que ''a'' não esteja contido nesse rol:

[latex]\binom{n}{r}[/latex] (II)

Veja que formamos conjuntos de r elementos dados n+1 elementos de K,de forma que ''a'' foi excluído da contagem,para que seja garantida a condição inicial de grupos sem ''a''.


Agora,formemos um conjunto de r elementos partindo dos (n+1) elementos de K,tal que ''a'' esteja incluído na contagem. Nesse caso,fixaremos ''a'' nos grupos,de forma a escolher os n elementos restantes de K em (r-1) lugares disponíveis:

[latex]\binom{n}{r-1}[/latex] (III)

Veja que a contagem foi feita com n elementos ao invés de (n+1),uma vez que levamos em conta que ''a'' já estava incluído nos grupos. Isso explica também por que a contagem foi feita com os n elementos tomados em (r-1) lugares.

Veja que,somando (II) e (III),obtemos o total de grupos que podem ser formados dados os (n+1) elementos de K tomados r a r. Os conjuntos possuem somente duas opções:Ou contém A ou não contém.

(II) + (III): [latex]\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1}[/latex] (IV)

Nesse caso,podemos estabelecer uma igualdade entre (I) e (IV):

[latex]\binom{n+1}{r} = \binom{n}{r} + \binom{n}{r-1}[/latex]

Os númeradores dos números binomiais da expressão acima representam as linhas do Triângulo de Pascal. Desse modo,podemos concluir que um determinado elemento da (n+2)-ésima linha é a soma dos dois elementos anteriores imediatamente acima dele.

Repare que citei a n+2-ésima linha para [latex]\binom{n+1}{r} [/latex] ,uma vez que a 1ª linha é ocupada pelo [latex]\binom{0}{0} [/latex] . Logo a linha de um binomial da forma [latex]\binom{n+1}{r} [/latex] é dada por (n+1) + 1 = (n+2)-ésima linha

....(n + 1)! ............. n! ..................... n!
---------------- = ------------ + ----------------------
r!.(n - r + 1)! .... r!.(n - r)! .... (r - 1)!.(n - r + 1)!

.......(n + 1).n! ............................. n! .............................. n!
------------------------------ = ------------------- + ------------------------------
r.(r - 1)!.(n - r + 1).(n - r)! ... r.(r - 1)!.(n - r)! .... (r - 1)!.(n - r + 1).(n - r)!

Simplifique os verdes e azuis e complete