Área do triângulo

ABCD é um quadrado de lado 2. M, N e O são os pontos médios dos segmentos AB, BC e MB, respectivamente, e os pontos P e Q são intersecções do segmento MN com os segmentos OX e BX, respectivamente, conforme a figura abaixo:



Qual a área do triângulo PQX?

a) 1/3
b) 2/3
c) 4/5
d) 5/12
e) 4/15

Gabarito: e) 4/15.

eu dei uma pensada, e depois testei no geogebra, quase certeza que a área vai depender da posção do ponto X.
Então só pra confirmar, o ponto X é definido de alguma forma ou ele é um ponto qualquer em DC?

SilverBladeII escreveu:eu dei uma pensada, e depois testei no geogebra, quase certeza que a área vai depender da posção do ponto X.
Então só pra confirmar, o ponto X é definido de alguma forma ou ele é um ponto qualquer em DC?

não é especificado, é um ponto qualquer no lado DC.

Pela figura, suponho que X seja o ponto médio de DC ---> DX = CX = 1

Resolvendo por GA com origem em D(0, 0), DC no eixo x e DA no eixo y

A(0, 2) , M(1, 2) , B(2, 2) , N(2, 1), O(3;2, 2) , C(2, 0), X(1, 0)

Equação da reta MN: coeficiente angular = -1 e passa por N(2, 1):

y - yN = m.(x - xN) ---> y - 1 = -1.(x - 2) ---> y = -x + 3 ---> I

Equação da reta BX: m' = BC/XC --->  m' = 2/1 = 2 e passa por B(2, 2):

y - 2 = 2.(x - 2) ---> y = 2.x - 2 ---> II

Equação da reta OX: m" = 2/(3/2 - 1) = 4 e passa por O(3/2, 2):

y - 2 = 4.(x - 2)  ---> y = 4.x - 6 ---> III

I = II ---> Calcule coordenadas do ponto Q
I = III --> Calcule coordenadas do ponto P

Com pontos P, Q, X use determinantes e calcule área de PQX

Oliveirasmat23 escreveu:

SilverBladeII escreveu:eu dei uma pensada, e depois testei no geogebra, quase certeza que a área vai depender da posção do ponto X.
Então só pra confirmar, o ponto X é definido de alguma forma ou ele é um ponto qualquer em DC?

não é especificado, é um ponto qualquer no lado DC.

hmm ent acho que não tem gabarito, foi mal.
só pra n deixar sem resposta tbm, provar que a área de PQX não é constante quando X varia sobre CD:
é claro que aa área de BOX é constante, e PQX=BOX-BOPQ=BOX-BMN+MOP+BQN=k+MOP+BQN, onde k é uma constante.

Se X=D, Q é ponto médio de MN então BQN+OPM > MBN/2  => PQX > k+MBN/2.

Se X=C, BQN=0 e a altura de MOP relativa a P é menor que BN, como O é ponto médio de MB, então MOP < MBN/2 => PQX < k+MBN/2.

Isso mostra que a área não é constante quando X varia sobre CD (ao menos dois pontos tem área diferente entre si).

Existe uma forma mais direta e simples, que é calcular a área diretamente como o mestre  @Elcioschin mostrou

Inicialmente eu fiz X(b, 0) e obtive a resposta em função de b.

Acontece que todas as alternativas são números.
Eu então supus que poderia haver um falha no enunciado ao esquecer de dizer que X era o ponto médio de CD; e olhando para a figura vi que esta suposição deveria estar correta.

SilverBladeII

Há alguns dias eu enviei para você uma mensagem pessoal (MP) no fórum.
Por favor, confira se recebeu ou não e me envie uma resposta, por MP.

Elcio

Mesmo sem uma definição clara para X, muito obrigado Elcioschin e SilverBladeII.