Função Quadrática - FME

por kelvinkfs Sáb 05 Jun 2021, 08:57

(F.SANTANA-B3) Considerem-se dois números cuja soma é 18 e cujo produto e - 32. A soma dos inversos desses números é igual a:

a) -9

b) [latex]\frac{-16}{9}[/latex]

c) [latex]\frac{-9}{16}[/latex]

d) [latex]\frac{1}{18}[/latex]

e) [latex]\frac{9}{16}[/latex]

Gabarito:

por kelvinkfs Sáb 05 Jun 2021, 09:12

Tentei de 2 maneiras e chegavam ao mesmo lugar.

1)

F(x) = x² - Sx + P
F(x) = x² - 18x -32

[latex]\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}[/latex]

[latex]\frac{18 \pm \sqrt{452}}{2}[/latex]

2 maneira

x¹ + y = 18 [latex]\rightarrow [/latex] x¹ = 18 - y
x¹y = -32 [latex]\rightarrow [/latex] y( 18 - y ) = -32
18y -y² = -32
-y² + 18 + 32 = 0

[latex]\frac{-18 \pm \sqrt{452}}{-2}[/latex]

por M'aiq Sáb 05 Jun 2021, 11:09

[latex]x + y = 18 \rightarrow x = 18 - y[/latex]

[latex](18 - y) \cdot y = -32[/latex]

[latex]y^{2} - 18y -32 = 0[/latex]

Resolvendo a equação, encontrará:
[latex]y_1= 9 + \sqrt{113} \;\;\;\;\; y_2 = 9 - \sqrt{113}[/latex]

Neste caso, se você substituir o y1 na equação original, encontrará o x1 com o mesmo valor do y2, e vice-versa, se substituir o y2 na equação original, encontrará o x2 com o mesmo valor que o y1. Portanto, y1 e y2 correspondem ao x e y da equação original. Somando os inversos:

[latex]\frac{1}{9 + \sqrt{113}} + \frac{1}{9 - \sqrt{113}} = -\frac{9}{16} [/latex]

por M'aiq Sáb 05 Jun 2021, 11:20

O bháskara fica assim:

[latex]y^{2}-18y-32=0[/latex]

[latex]\Delta = (-18)^{2} - 4 \cdot (1)\cdot (-32)[/latex]

[latex]\Delta = 324 + 128 = 452[/latex]

Fatorando o 452, econtrará 2x2x113

[latex]y = \frac{-(-18) \pm 2\sqrt{113}}{2}[/latex]

[latex]y_1 = \frac{18+2\sqrt{113}}{2} = 9+\sqrt{113}[/latex]

[latex]y_2 = \frac{18-2\sqrt{113}}{2} = 9-\sqrt{113}[/latex]

por **Elcioschin** Sáb 05 Jun 2021, 12:00

Outra solução mais simples, considerando r, s as raízes

Não é necessário calcular as raízes, pois não foi pedido no enunciado:

r.s = - 32 ---> I

r + s = 18 ---> II

1/r + 1/s = (r + s)/r.s = 18/(-32) = - 9/16 ---> c)