produtos notáveis e fatoração

por Isa Oliver Qua 09 Dez 2020, 22:43

(UFV-MG) Simplificando-se a expressão , " x^2 +xy/ x^2-y^2 * (1/y - 1/x) "em que x e y são números positivos e distintos, obtém-se

A) 1/x
B) 2y
C) xy
D) 1/y
E) 2x

*=multiplicação

ps: achei essa resolução e só não entendi como (1/y - 1/x) vira x-y/xy

por **Emanuel Dias** Qua 09 Dez 2020, 22:55

Olá.

Vou te explicar o princípio por trás de toda transformação desse tipo para que você possa resolver sempre que precisar.

Tudo que precisar ter em mente são duas coisas:

Primeiro: Só se soma frações com denominador comum, por exemplo [latex]\frac{1}{1}+\frac{2}{1}=\frac{3}{1}[/latex].

Se fosse algo como [latex]3+\frac{1}{2}[/latex], precisaríamos fazer surgir o denominador igual, e é isso que foi feito na sua questão.

Segundo: multiplicar e dividir um número por um valor qualquer não altera o número, por exemplo, [latex]3=3\frac{k}{k}[/latex] multipliquei e dividi por k, k é um número qualquer. No fim, o que eu fiz por multiplicar por 1=k/k.

Pronto agora vamos ver o que foi feito:

[latex]\frac{1}{y}-\frac{1}{x}[/latex]

precisamos que os denominadores sejam comuns, para fazer isso eu vou usar a ideia que mostrei acima.

Um denominador é x outro é y, como faço ficarem iguais? Faço aparecer xy em ambos pois n posso sumir com x nem com y.

Então para aparecer xy no denominador de 1/y eu multiplico por x em cima e em baixo, fica assim:

[latex]\frac{1}{y}=\frac{x}{yx}[/latex]

vou fazer a mesma coisa com 1/x, mas como já tem o x em baixo eu multiplico e divido por y, fica assim:

[latex]\frac{1}{x}=\frac{y}{xy}[/latex]

Note que não alterei nenhum dos dois, por fim fica assim:

[latex]\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{x}{xy}-\frac{y}{xy}=\frac{x-y}{xy}[/latex].

Pegou?

Vou dar um exemplo numérico:

[latex]2+\frac{3}{4}=\frac{2\cdot 4}{4}+\frac{3}{4}=\frac{8+3}{4}=\frac{11}{4}[/latex]

Se ainda tiver dúvida, pode perguntar.