Ita 2005 - equação

*Conseguem visualizar os sinais? Ainda estou aprendendo a mexer nesse fórum*

(Ita 2005) Considere a equação em [tex3]x ∈ \mathbb{R} \ \ \ \sqrt{1+mx}=x+\sqrt{1-mx} [/tex3], sendo m um parâmetro real:

a) Resolva a equação em função do parâmetro m.

(Isso quer dizer pra isolar o m?)

b) Determine todos os valores de m  para os quais a equação admite solução não nula.

(Isso quer dizer para organizar a equação em função de x?)

Gabarito: 

a) Para m∈ \mathbb{R} tal que m < (√2)/2 ou m \geq 1, S = {0}

Para m∈ \mathbb{R} tal que (√2)/2 \leq m < 1, S = {0;2}

b)m∈ \mathbb{R} tal que (√2)/2 \leq m < 1

OBS.: Não tem uma maneira mais fácil de passar a limpo todas essas resoluções, principalmente se tratando de raiz quadrada?

Minha resolução:

a) Deixando a equação em função de m:

C.E.: 1-mx \geq 0 --> m \leq 1/x 
        1 + mx \geq 0 --> m \geq -1/x

√(1-mx) = x + √(1-mx) ()² --> 1 + mx = x² + 2x√(1-mx) --> 2mx - x² = 2x√(1-mx) -->
--> 2m - x = 2√(1-mx) ()² --> 4m² - 4mx + x² = 4(1-mx) --> 4m² + x² = 4 -->
--> 4m² = 4 - x²  --> m² = (2+x)(2-x)/4 --> m = (+-)√[(2+x)(2-x)]/2 *não sei como prosseguir*

b) Deixando a equação em função de x:

C.E.: 1-mx \geq 0 --> x \leq 1/m 
        1 + mx \geq 0 --> x \geq -1/m

 4m² + x² = 4 --> x² = 4- 4m² --> x = (+-) √[4(1-m²)] --> x = (+-) 2√(1-m²)
*Qual critério utilizo para determinar os valores de m para os quais a equação admite solução não nula?* Tentei fazer de duas formas:

1ª Forma:
(+-)2√(1-m²) \neq 0 ()² --> 4(1-m²) \neq 0 --> 4 - 4m² \neq 0 --> m² \neq 1 --> m \neq (+-) 1

2ª Forma: 

(+-)2√(1-m²) > 0 --> 4(1-m²)>0 --> 4 - 4m² > 0 --> 4m² < 4 --> m < +- 1
(+-)2√(1-m²) < 0 --> 4(1-m²)<0 --> 4 - 4m² < 0 --> 4m² > 4 --> m > +- 1

*Obviamente está errado. Mas o que estou errando?*

Item A

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Item B