OBM - 2005

por Vitor Packer Ter 14 Jun 2022, 09:41

Traçando as quatro retas perpendiculares aos lados de um paralelogramo não retângulo pelos seus pontos médios, obtém-se uma região do plano limitada por essas quatro retas. Podemos afirmar que a área dessa região é igual à área do paralelogramo se um dos ângulos do paralelogramo for igual a:
A) 30
B) 45
C) 60
D) 75
E) 90

Resposta: B
Qual caminho eu devo fazer para obter a resposta, tentei jogar com trigonometria para o ângulo, mas não foi suficiente, qual a forma de obter esse resultado?

por **Elcioschin** Ter 14 Jun 2022, 12:52

Um método trabalhoso usando Geometria Analítica:

por Vitor Packer Ter 14 Jun 2022, 18:39

Resolvi de acordo com o que o senhor me indicou, muito obrigado.
Eu não encontrei todos os pontos, achei os pontos S' e S", calculei a diferença entre eles e multipliquei pela altura relativa ao lado: "b.senθ".

Desse modo igualei a área deste paralelogramo com a área do maior e cheguei a igualdade: "sen x = cos x"

logo o único ângulo possível sendo 45°.
Gostaria de realizar um último par de perguntas para fechar esta questão, posso assumir que o ângulo θ é igual ao ângulo formado entre as retas t e s? E, Por qual motivo a equação das retas foi multiplicada pela tangente?
Novamente muito obrigado

por **Elcioschin** Ter 14 Jun 2022, 19:40

Eu esqueci de postar os pontoe R', R", S', S" na figura.
Seja E o ponto de encontro da reta t com o eixo x
Note que o triângulo S'ME é retângulo em M e que MÊS' = 90º - θ
Logo ---> M^S'E = θ --> Então, a resposta para sua pergunta é sim

Toda reta tem equação y = m.x + n (n é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y)
O valor m é o coeficiente angular da reta: é igual à tangente trigonométrica do ângulo que a reta faz com o eixo x