Sistema linear - UNICAMP 2019

UNICAMP 2019 - Vagas Remanescentes
Sabendo que a é um número inteiro, considere o sistema linear nas variáveis reais x e y:
  x + y = 2
ax + y = 1
Se o sistema linear acima admite solução com x e y números inteiros, então:
a) a é ímpar
b) a é par (gabarito)
c) a é negativo
d) a é positivo

EDITADO: Resolvido. Valeu Elcioschin e rhsb19 !!!
Resolução corrigida em ANEXO.

x.(a - 1) = - 1

x = 1/(a - 1)

Os únicos modos de se ter x, a inteiros são

a = 2 e x = 1
a = 0 e x = -1

Em ambos, a é par

Acho que foi por coincidência. 

X=-1 não é necessariamente verdade, assim como a-1=-1 não é necessariamente verdade

Por exemplo, se a=3, a-1=2
Substituindo: 
X.2=-1
X=-1/2

Se o sistema admite solução, a-1 tem que obrigatoriamente ser diferente de 0. logo "a" tem que ser diferente de 1

Logo, "a" não pode ser impar, já que a alternativa não exclui a possibilidade de a ser ímpar e diferente de 1

"a" também não pode ser negativo, porque independente de qual seja o valor de "a" negativo, o divisor sempre será maior (em modulo) do que 1, logo o resultado seria um número racional

Assim, como par não pode ser ímpar, ele não pode ser qualquer positivo, se ele não é ímpar, ele é par.


Outra forma de fazer é simplesmente perceber que a única maneira dessa divisão ser um número inteiro é a=0, que é um número par, não negativo e não positivo
 ou então 2, que é par