demonstração
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demonstração
por Emanuel Dias Qui 16 Jan 2020, 11:21
Demonstrar que, se A, B, C são ângulos internos de um triângulo, vale a relação:
\frac{1}{tgA\cdot tgB}+\frac{1}{tgB\cdot tgC}+\frac{1}{tgC\cdot tgA}=1\: \: \: \: (A,B,C\neq \frac{\pi }{2})
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Re: demonstração
por Vitor Ahcor Qui 16 Jan 2020, 11:46
Se A, B e C são ângulos de um triângulo, então A+B+C = π. Assim:
A+B = π - C ⇒ tg(A+B) = -tgC
Desenvolvendo,
(tgA + tgB)/(1-tgA*tgB) = -tgC ⇒ tgA + tgB + tgC = tgA*tgB*tgC ⇒
⇒ tgA/(tgA*tgB*tgC) + tgB/(tgA*tgB*tgC) + tgC/(tgA*tgB*tgC) = 1 ⇒
⇒ 1/(tgB*tgC) + 1/(tgA*tgB) + 1/(tgA*tgC) = 1.
Está provado.
A+B = π - C ⇒ tg(A+B) = -tgC
Desenvolvendo,
(tgA + tgB)/(1-tgA*tgB) = -tgC ⇒ tgA + tgB + tgC = tgA*tgB*tgC ⇒
⇒ tgA/(tgA*tgB*tgC) + tgB/(tgA*tgB*tgC) + tgC/(tgA*tgB*tgC) = 1 ⇒
⇒ 1/(tgB*tgC) + 1/(tgA*tgB) + 1/(tgA*tgC) = 1.
Está provado.
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